Primitive pythagoreische Tripel - Beweis

13.04.2019, 15:11	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Primitive pythagoreische Tripel - Beweis Hallo zusammen, ich soll beweisen, dass folgendes allgemeines Tripel ein primitives pythagoreisches Tripel ist. Zu der Aufgabe: Es seien $\begin{eqnarray} p,q \in \mathbb Z_{>0} , p>q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ggT(p,q)=1 \end{eqnarray}$ nicht beide ungerade. Dann ist $\begin{eqnarray} (p^2-q^2, 2pq , p^2+q^2) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} X^2+Y^2=Z^2 \end{eqnarray}$ . Zu beweisen, dass dieses Tripel ein pythagoreisches Tripel ist, ist nur Einsetzen. Allerdings habe ich noch nie etwas mit ggT's bewiesen und, weiß daher nicht wie ich zeigen soll, dass die angegeben Lösung immer primitiv ist. Anfang: Ein Tripel ist ja primitiv ,falls: $\begin{eqnarray} ggT(X,Y,Z)=1 \Leftrightarrow ggT(X,Y)=1 \wedge ggT(X,Z)=1 \wedge ggT(Y,Z)=1 [/latex. Jetzt sehen wir nur noch, dass : [latex]X=p^2-q^2 , Y=2pq , Z=p^2+q^2 \end{eqnarray}$ Kann mir jemand erklären wie man an solche Aufgaben herangeht oder bei dem Beweis assistieren ? Wäre super nett LG Snexx_Math
13.04.2019, 15:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eins hast du ja bestimmt schon erkannt: Du brauchst diese Voraussetzungen allenfalls, um die Primitivheit des Tripels zu beweisen, während $\begin{eqnarray} X^2+Y^2=Z^2 \end{eqnarray}$ auch ohne diese Voraussetzungen gilt. Geht das ganze doch indirekt an, d.h., weise nach, dass das Tripel nicht primitiv ist, sobald eine dieser Voraussetzungen verletzt ist...
17.04.2019, 18:10	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hats geklappt danke

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