Weg von einem Gitterpunkt zum anderen

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13.04.2019, 17:16

MaPalui

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Weg von einem Gitterpunkt zum anderen

Da bin ich wieder Augenzwinkern

Ich habe nun mit folgender Aufgabe zu kämpfen:

Zitat:

Betrachten Sie ein Gitter mit Dimension $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ , also n vertikalen Kanten und m horizontalen Kanten. Zeigen Sie, dass es genau $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m+n \\n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ verschiedene Pfade von der Ecke links oben zur Ecke n rechts unten gibt, wenn man immer nur Kanten nach unten oder nach rechts benutzt.

Meine Idee:
Ich muss genau m mal nach rechts und n mal nach unten gehen.
Ich kann mir alle möglichen Wege nun also als Folge vorstellen:
$\begin{eqnarray*} W = \left\{ (a_1, \dots, a_{m+n}), a_i\in\left\{r,u\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} |\left\{a_i=r\right\}| = m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |\left\{a_i=u\right\}| = n \end{eqnarray*}$ .
Nun ist ein Weg dadurch eindeutig bestimmt dass ich angebe, wo ich nach unten gehe. Ich kann also n-viele u auf m+n Plätze verteilen. Dies ergibt mir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m+n \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ich könnte das gleiche auch mit m-vielen r machen und erhalte: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m+n \\ m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m+n \\ (m+n)-m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}m+n \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ist das (insbesondere formal) korrekt?

13.04.2019, 19:11

HAL 9000

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Ja, so einfach ist das: Auswahl der $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Positionen wo nach rechts gegangen wird unter insgesamt $\begin{eqnarray*} m+n \end{eqnarray*}$ Positionen. Oder alternativ Auswahl der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Positionen wo nach unten gegangen wird - ist rum wie num. Freude

14.04.2019, 09:58

MaPalui

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Hallo HAL 9000,

super, vielen Dank für deine Bestätigung smile

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