Integral der Gaußkrümmung

14.04.2019, 15:19	Inad	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral der Gaußkrümmung Meine Frage: Wir haben den Torus $\begin{eqnarray} T_{r,R} = \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \| (\sqrt{x^2 + y^2} - r)^2 + z^2 = R^2 \rbrace \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r,R > 0 \ und \ R < r \end{eqnarray}$ . Außerdem wissen wir, dass die Oberfläche des Torus $\begin{eqnarray} 4{\pi}^2rR \end{eqnarray}$ ist und nun wollen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_{T_{r,R}} K dv_g = 0 \end{eqnarray}$ ist. Allerdings darf ich Gauß-Bonnet nicht benutzen, womit das ja offensichtlich ist. Meine Ideen: Die einzige Formel, die ich benutzen kann, die die Gaußkrümmung enthält, ist diese: $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dt^2}\|_{t=0} Area(\Omega,g_t) = \int_{\Omega} (\|\| \nabla f \|\|^2 + 2Kf^2)dv_g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \in C_0^{\infty}(M) \ und \ \Omega \subset M \end{eqnarray}$ . Meine Idee: $\begin{eqnarray} \frac{d^2}{dR^2}\|_{R=0} Area(T_{r,R},g_R) = \frac{d^2}{dR^2}\|_{R=0} 4\pi^2 rR = \frac{d}{dR}\|_{R=0} 4\pi^2 r = 0 \Rightarrow \int_{T_{r,R}} (\|\| \nabla f \|\|^2 + 2Kf^2) dv_g = 0 \Rightarrow \int_{T_{r,R}} 2Kf^2 dv_g = 0 \Rightarrow \int_{T_{r,R}} K dv_g = 0 \end{eqnarray}$ . Allerdings scheint mir das etwas zu einfach gedacht, da wir über $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ja eigentlich gar nichts wissen, daher würde ich mich über jede Hilfe sehr bedanken und hoffe bald auch gleiche zu bekommen, Danke.

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