Berechnen eines Erwartungswertes

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eroy Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen eines Erwartungswertes
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem. Ich muss den Erwartungswert und die Varianz (für Chebyshev-Ungleichung) einer Zufallsvariable X berechnen.

Die Aufgabe wird wie folgt beschrieben:
"Wir werfen 1000 faire Münzen. Wir wollen wissen, wie viele benachbarte Paare von Münzen es gibt, die beide Kopf zeigen. Wir bezeichnen die Anzahl der Paare benachbarter Münzen, die beide Kopf zeigen, mit X."

Den Erwartungswert von X habe ich ausgerechnet, das ist n = 1000 * 1/4 = 250.
Um die Varianz zu berechnen, soll ich die folgende Formel verwenden:



Wie berechne ich aber ? Ich habe an folgendes gedacht:

Dank der Linearität und der Unabhängigkeit der Zufallsvariable X:



Ist das legitim? Wenn ich so die Varianz berechne, komme ich auf 0, was doch falsch wäre, oder?

Danke für eure Hinweise und Hilfe!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eroy
Den Erwartungswert von X habe ich ausgerechnet, das ist n = 1000 * 1/4 = 250.

Bezeichnen wir mit die Indikatorvariable des Ereignisses "Münze und sind Kopf". Dann ist und somit wegen dann

,

du liegst damit ganz leicht daneben. Augenzwinkern

Dabei gehe ich davon aus, dass du die Münzen in eine Reihe legst, nicht etwa in einen Kreis (d.h. Münze 1 und Münze 1000 sind NICHT als benachbart anzusehen!)

Zitat:
Original von eroy
Um die Varianz zu berechnen, soll ich die folgende Formel verwenden:



Wie berechne ich aber ? Ich habe an folgendes gedacht:

Dank der Linearität und der Unabhängigkeit der Zufallsvariable X:



Ist das legitim?

In keinster Weise: darfst du nur rechnen, wenn und unkorreliert sind, was z.B. der Fall wäre, wenn von unabhängig ist. Sowas gilt aber nur bei konstanten Zufallsgrößen, eine solche liegt hier NICHT vor!!!


So geht es richtig: Für ist



und somit

.
 
 
eroy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön, HAL 9000 für diese sehr detaillierte Antwort!!

Ich habe soeben beim Assistenten nachgefragt, und es ist tatsächlich so, dass wir die Münzen in einen Kreis legen.

Das bedeutet, dass der Erwartungswert dann 250 sein würde. Ich kann leider deine Formel für nicht verstehen. Warum wird die Formel so ausgeschrieben? Ich habe gerade versucht, sie anzupassen, aber ich verstehe leider nicht, warum sie so aussieht:



Könntest du mir bitte das kurz erklären?

Danke schön im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von eroy
und es ist tatsächlich so, dass wir die Münzen in einen Kreis legen.

So eine wichtige Info sollte man nicht unterschlagen, denn das ändert natürlich die Sache ein bisschen: Dann gibt es auch ein welches kennzeichnet, dass die dann auch benachbarten Münzen und Kopf zeigen, es ist abweichend zu oben und damit tatsächlich



Zusammen mit der Änderung dann eine ausführlichere Aufdröselung der Varianzrechnung: Es ist

.

Nun müssen wir aber auch noch unterscheiden in

a) direkt benachbarte Indizes, z.B. im Fall heißt nämlich, dass die drei Münzen Kopf sind. In diesem Fall ist daher .

und

b) weiter entfernte Indizes, d.h. "alles andere" außer a). In dem Fall heißt , dass die vier Münzen Kopf sind. Hier ist somit .

Fall a) umfasst genau Paare , für die wir exemplarisch nehmen können, während b) den ganzen "Rest" umfasst, das sind Paare, exemplarisch


Summa summarum alles zusammengepackt entsteht wegen der nunmehrigen Kreisanordnung



und daraus

.

Jetzt muss man aber aufpassen, das gilt erst für , aber n=1000 ist da kein Problem.
eroy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zusammen mit der Änderung dann eine ausführlichere Aufdröselung der Varianzrechnung: Es ist

.



Danke schön für die detaillierte Erklärung!!
Noch eine kurze Frage..



Hier werfen wir jede einzelne Münze zweimal, richtig? Oder wie soll man das Quadrat dieser zwei Zufallsvariablen verstehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist einfach das Quadrat der Zufallsgröße , nicht mehr und nicht weniger. Warum muss man da mit aller Gewalt etwas hineininterpretieren - schon gar nicht so was haarsträubendes, wie plötzlich und grundlos doppelten Münzwurf? Es geht schlicht und einfach nur um

.
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