Differentialgleichung 1. Ordnung

17.04.2019, 11:29

sluurp

Differentialgleichung 1. Ordnung

Meine Frage:
Hallo,

ich habe von meinem Prof. in der Uni ein paar Übungsaufgaben bekommen zum Thema Differentialgleichungen 1. Ordnung. Alle von Ihnen fielen mir recht leicht bis auf eine, dort komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

Die Aufgabe lautet:

y'(1+x)=1-y

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

Meine Ideen:
Wir haben von unserem Prof. die Lösungen die herauskommen müssen bekommen.
Es soll herauskommen: y=1-C/(1+x)

17.04.2019, 11:36

klarsoweit

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
Im Grunde geht es mit "Trennung der Variablen". Bringe "1-y" auf die linke Seite und "1+x" auf die rechte Seite et voila. smile

17.04.2019, 11:51

slurp

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Danke, das war auch mein Ansatz, aber irgendwie hakt es wenn ich zu dem Ergebnis kommen möchte.

Rübergebracht:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{1-y} \, dy=\int_{}^{} \! \frac{1}{1+x} \, dx \end{eqnarray*}$

Integriert:
$\begin{eqnarray*} ln(1-y)+c_{1} =ln(1+x)+c_{2} \end{eqnarray*}$

->e^ & ein C aufgelöst
$\begin{eqnarray*} (1-y)=(x+1)*C \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht auf das vorgegebene Ergebnis. Habe ich bereits irgendwelche Fehler unbewusst eingebaut?

17.04.2019, 12:39

klarsoweit

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Dann leite doch mal ln(1-y) nach y ab. Es müßte ja wieder der Integrand rauskommen.
Außerdem: wenn man es ganz genau nimmt, müßten die Argumente des ln noch in Betragsstriche gesetzt werden.

17.04.2019, 13:52

slurp

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Okay, danke, dann ist da in meiner Rechnung wohl ein Vorzeichen verschwunden gegangen. Musste jetzt auch 2 mal nach sehen bevor ich gesehen habe was Sie damit meinten verwirrt

Aber dennoch, ob mit oder ohne Betragsstriche, stehe ich auf dem Schlauch. Wie ist das weitere vorgehen? Ich glaube ich habe heute schon zu lange und zu viel gelesen um noch klar zu denken. Hammer

aus $\begin{eqnarray*} \int_\! \frac{1}{1-y} \, dy \end{eqnarray*}$
wird $\begin{eqnarray*} -ln(|y-1|) + C_{1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} -ln(|y-1|) + C_{1}=ln(|x+1|) + C_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -ln(|y-1|)=ln(|x+1|) + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -(|y-1|)=(|x+1|)*C \end{eqnarray*}$

Und nun? Lehrer

17.04.2019, 14:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von slurp
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -(|y-1|)=(|x+1|)*C \end{eqnarray*}$

Einfach den ln auf beiden Seiten weglassen, geht natürlich nicht. Mach das mal korrekt, indem du beide Seiten als Exponenten zur e-Funktion schreibst.

17.04.2019, 14:39

slurp

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Hatte ich eigentlich auch so probiert, jedoch offensichtlich falsch angewendet. Bin jetzt auf das Ergebnis gekommen, besten dank!

17.04.2019, 14:40

Leopold

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Mich hat die Gleichung sofort an die Produktregel der Differentiation erinnert:

$\begin{align*} y' \cdot (1+x) + y = 1 \end{align*}$

Mit der Substitution $\begin{align*} u = y \cdot (1+x) \end{align*}$ geht die Gleichung in das simple $\begin{align*} u' = 1 \end{align*}$ über.

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