Koordinatensystem auf Rechtssystem/Linkssystem prüfen

18.04.2019, 14:20	Dreadwar	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatensystem auf Rechtssystem/Linkssystem prüfen Meine Frage: Hallo, ich habe eine Übungsaufgabe zum Thema Koordinatensysteme bei der ich nicht mehr weiter komme, die Aufgabe lautet: Wir definieren ein neues Koordinatensystem, bei dem z' = z, aber x' = (x+y)/sqrt(2) und y' = (x-y)/sqrt(2). Ist dies ein Links- oder Rechtssystem, wenn das ursprüngliche System ein Rechtssystem ist? Hat jemand eine Idee oder einen Ansatz wie man Koordinatensysteme auf diese Eigenschaft überprüft? Eine Erklärung oder ein Anstupser wäre wirklich sehr Hilfreich. Vielen Dank im Voraus! PS: Formeleditor hat leider nicht funktioniert Meine Ideen: Grundsätzlich ist mir klar was ein Links- bzw. Rechtsystem ist. Die rechte- bzw linke-Hand-Regel ist mir auch bekannt. Ich habe hier leider keinen Ansatz wie man das überprüfen sollte. Eine Idee von mir war, das Kreuzprodukt der Einheitsvektoren in x' bzw y' Richtung zu bilden und zu schauen ob das Ergebnis den Einheitsvektor in z-Richtung ergibt, dies gibt ja aber meiner Meinung nach nur Auskunft darüber, ob es sich um ein Orthonormalsystem handelt, als Ergebnis habe ich (x^2-y^2)/2, das ist also nicht der Fall. Da das meine Einzige Idee ist und ich mir nicht vorstellen kann wie ich meine Finger in die Richtung x' bzw y' drehen soll, komme ich hier wohl nicht weiter und brauche Hilfe.
18.04.2019, 14:33	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Koordinatensystem ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , speziell hier eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f(v) = Av \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine reguläre Matrix ist. Man nennt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ orientierungserhaltend bzw. Rechtssystem, wenn $\begin{eqnarray} \det(A)>0 \end{eqnarray}$ gilt.
18.04.2019, 15:09	Dreadwar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Finn, danke für die Antwort! Leider haben wir bis jetzt (bin noch am Anfang des Studiums) noch nicht mit Matrizen gerechnet, insofern kann ich leider mit deiner Erklärung nicht viel anfangen. Gibt es eventuell eine trivialere Möglichkeit das zu überprüfen? Grüße
18.04.2019, 15:30	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in diesem Fall schon. Das Standard-Koordinatensystem wird durch die kanonische Basis $\begin{eqnarray} e_x,e_y,e_z \end{eqnarray}$ aufgespannt. Die lineare Abbildung ordnet jedem dieser Vektoren einen neuen zu. Das sind $\begin{eqnarray} e_x' = \frac{1}{\sqrt{2}}e_x+\frac{1}{\sqrt{2}}e_y, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_y' = \frac{1}{\sqrt{2}}e_x-\frac{1}{\sqrt{2}}e_y, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_z' = e_z. \end{eqnarray}$ Wenn die lineare Abbildung orientierungserhaltend ist, zeigt $\begin{eqnarray} v = e_x\times e_y \end{eqnarray}$ in die selbe Richtung wie $\begin{eqnarray} v' = e_x'\times e_y' \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v'=\lambda v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda>0 \end{eqnarray}$ . Das ist möglich, weil $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ kollinear sind, was damit zusammenhängt dass $\begin{eqnarray} e_z'=e_z \end{eqnarray}$ .
18.04.2019, 15:42	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Für $\begin{eqnarray} e_z'=e_z \end{eqnarray}$ gilt allgemein: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b & 0\\ c & d & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \det(A)=ad-bc. \end{eqnarray}$ Die Vektorprodukte sind: $\begin{eqnarray} v = e_x\times e_y = \begin{pmatrix}1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v' = e_x'\times e_y' = \begin{pmatrix}a \\ c\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}b \\ d\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ ad-bc\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Es ergibt sich nun $\begin{eqnarray} v'=\lambda v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda=\det(A) \end{eqnarray}$ .
18.04.2019, 16:10	Dreadwar	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, ich verstehe es trotzdem nicht so ganz, das liegt aber eher an fehlenden Grundlagen meinerseits als an deiner Erklärung. Falls du noch Energie hast, stell ich noch mal paar Fragen. Wie kommt man auf die Einheitsvektoren e'_x und e'_y? Ist v bei dir äquivalent zum Einheitsvektor in z-Richtung oder ist das ein anderer Vektor? Grüße
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18.04.2019, 16:32	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gegebene Abbildung $\begin{eqnarray} z'=z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x'=ax+ay \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y'=ax-ay \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=1/\sqrt{2} \end{eqnarray}$ lässt sich als lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x' \\ y'\\ z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & a & 0\\ a & -a & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen, kurz $\begin{eqnarray} \vec x' = A\vec x \end{eqnarray}$ . Für die Basisvektoren gilt nun $\begin{eqnarray} \vec e_x' = A\vec e_x \end{eqnarray}$ usw., das sind aber einfach die Spaltenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , da muss man nichts rechnen. Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec e_x\times\vec e_y \end{eqnarray}$ ist offenbar der Einheitsvektor in z-Richtung, wenn $\begin{eqnarray} \vec e_x \end{eqnarray}$ der in x-Richtung und $\begin{eqnarray} \vec e_y \end{eqnarray}$ der in y-Richtung ist.

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