Kleinste natürliche Zahl mit genau 28 Teilern

19.04.2019, 13:15

MaPalui

Kleinste natürliche Zahl mit genau 28 Teilern

Hallo Leute und schönen Karfreitag smile

ich beschäftige mich mit der im Titel genannten Aufgabe. Es soll die kleinste natürliche Zahl n mit genau 28 Teilern bestimmt werden.

Ich vermisse ehrlich gesagt ein bisschen den Zusammenhang zu unseren aktuellen Themen: dem Prinzip von Inklusion und Exklusion und Erzeugende Funktionen.
Wir haben aber zu Anfang des Semesters die Teileranzahlfunktion $\begin{eqnarray*} t(n) = \prod\limits_{i=1}^{k}(\alpha_i+1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n = \prod\limits_{i=1}^k p_i^{\alpha_i} \end{eqnarray*}$ in ihrer eindeutigen Primfaktorzerlegung kennengelernt.
Nutze ich diese: $\begin{eqnarray*} 28 = 2\cdot 2\cdot7 = (1+1)\cdot(1+1)\cdot(6+1) \end{eqnarray*}$

Also bilde ich $\begin{eqnarray*} n=2^6\cdot 3^1\cdot 5^1 = 960 \end{eqnarray*}$ .

Laut Wikipedia stimmt meine Lösung auch. Mir fehlt wie gesagt der Zusammenhang.
Ich würde an dieser Stelle noch argumentieren, dass ich so oft wie möglich die 2 als Teiler einbringe und mich dann "nach oben" arbeite zu den Primzahlen 3 und 5, da die Zahl n ja möglichst klein werden soll.

Genügt das so?

19.04.2019, 13:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaPalui
Ich würde an dieser Stelle noch argumentieren, dass ich so oft wie möglich die 2 als Teiler einbringe und mich dann "nach oben" arbeite zu den Primzahlen 3 und 5, da die Zahl n ja möglichst klein werden soll.

Betrachten wir etwa statt 28 die Teileranzahl $\begin{eqnarray*} 112 = 2^4\cdot 7 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} n_1=2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=73\,920 \end{eqnarray*}$ mitnichten die kleinste Zahl mit Teileranzahl 112, sondern $\begin{eqnarray*} n_2 = 2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7 = 60\,480 \end{eqnarray*}$ .

Ist dir klar, was ich mit diesem Beispiel sagen will? Du hast zwar Recht mit den 960, aber die Begründung, dass es keine kleineren Alternativen gibt, sollte schon noch etwas gründlicher ausfallen.

19.04.2019, 13:56

MaPalui

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HAL 9000, vielen Dank mal wieder smile

Dein Beispiel leuchtet mir ein.
Meiner Argumentation nach wäre ja dann ohnehin $\begin{eqnarray*} 2^{27} \end{eqnarray*}$ das Ergebnis gewesen, und das stimmt ja schonmal gar nicht.
An deinem Beispiel konkret sehe ich, dass der bei $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ zusätzlich vorkommende Faktor $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ kleiner ist als die $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ , welche aber nun wegfällt.
leider fällt mir keine allgemeingültige Erklärung ein, weil es mir bei meinen Überlegungen (Ein Primfaktor fällt weg, dafür kommt ein Exponent 2 hinzu) wieder die Teileranzahl verändert.
Ich habe daher mal die Möglichkeiten durchgerechnet:

$\begin{eqnarray*} 28 = 2\cdot 2\cdot 7 = 4\cdot 7 = 2\cdot 14 \end{eqnarray*}$

Das bringt mir:
$\begin{eqnarray*} n_1 = 2^{27}, n_2 = 2^6\cdot3\cdot 5, n_3 = 2^6\cdot 3^3 ,n_4=2\cdot 3^{13} \end{eqnarray*}$

Vergleichen bringt das Ergebnis.

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