Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen

20.04.2019, 16:53

Tommy90

Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

in Stochastik haben wir die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{a+0,3x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -3 \leq x \leq 10 \end{eqnarray*}$
sonst = 0 gegeben.
Ich soll a so bestimmen, dass die gegebene Funktion die Dichtefunktion einer Zufallsvariable X ist.

Meine Idee habe ich unten angegeben.
Hat jemand eine Idee, wie ich a stattdessen bestimmen könnte oder weiß, wo mein Fehler liegt?

Meine Ideen:
Daher habe ich mir gedacht, dass das Integral von -3 bis 10 von f(x) dx = 1 sein muss.
Wenn ich darüber a berechnen möchte, komme ich aber zu der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} (e^{a+3}) - (e^{a-0,9}) = 1 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich davon den ln bilde, steht dort:
$\begin{eqnarray*} (a + 2,4) - (a-0,6) = 1 \end{eqnarray*}$ .
Das Problem ist, dass sich das a dann aus der Gleichung rauskürzt.

Latex korrigiert. Antwortzähler auf 0 gesetzt.
klauss

20.04.2019, 17:15

klauss

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Ich kann nicht nachvollziehen, wo Du da wie den ln gebildet haben willst, was aber zweitrangig ist, da schon die Stammfunktion mißlungen ist.
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{10} \! e^{a+0,3x} \, dx =e^{a}\int_{-3}^{10} \! e^{0,3x} \, dx \end{eqnarray*}$

20.04.2019, 17:31

Mathema

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen

Zitat:

Original von klauss
was aber zweitrangig ist

Nein, das sollte vll eher primär einmal geklärt werden, damit dieser Fehler nie wieder passiert. Ich habe so abstrus wie mir nur möglich gedacht, mir ist es aber auch ein Rätsel. Also - erkläre bitte, wie du auf deine Gleichung kommst.

20.04.2019, 19:13

Tommy90

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Vielen Dank schonmal für die Antworten.

Ich habe folgendermaßen gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{10} \! (e^{a+0,3x} ) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt mit der richtigen Stammfunktion weiterrechne (von klauss) dann würde es bei mir so weitergehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{10} \! e^{a+0,3x} \, dx =e^{a}\int_{-3}^{10} \! e^{0,3x} \, dx = 1 \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{a} * ( (e^{3}) - (e^{-0,9}) ) = 1 \end{eqnarray*}$ | ln

= $\begin{eqnarray*} a * (3 - 0,9) = ln(1) \end{eqnarray*}$

Stimmt es so jetzt? So könnte ich ja einen Wert für a ausrechnen, aber so wie ihr sagt, habe ich ja bei dem ln noch einen Fehler drin oder?

20.04.2019, 19:40

klauss

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen

Zitat:

Original von Tommy90
Wenn ich jetzt mit der richtigen Stammfunktion weiterrechne (von klauss)

Ich hatte gar keine Stammfunktion angegeben, weil Du das selbst überdenken solltest. Leider ist das nicht geschehen. Daher jetzt:
$\begin{eqnarray*} e^{a}\int_{-3}^{10} \! e^{0,3x} \, dx = e^{a}\left[\frac{1}{0,3}e^{0,3x} \right]_{-3}^{10} = ...? \end{eqnarray*}$
Danach können wir uns dem Logarithmieren widmen.

21.04.2019, 12:13

Tommy90

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Oh, tut mir leid, da hab ich wohl nicht richtig gelesen.

$\begin{eqnarray*} e^{a}\int_{-3}^{10} \! e^{0,3x} \, dx = e^{a}\left[\frac{1}{0,3}e^{0,3x} \right]_{-3}^{10} = e^{a} *( (\frac{1}{0,3} e^{3}) - (\frac{1}{0,3} e^{-0,9}) )= 1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich davon nun den ln bilde, dann mache ich aus dem e hoch a ein a, die anderen Therme lasse ich allerdings so stehen, da diese ja mit ehocha multipliziert werden und ich nicht beide verändern kann.

$\begin{eqnarray*} a * ( (\frac{1}{0,3} e^{3}) - (\frac{1}{0,3} e^{-0,9}) )= ln(1) \end{eqnarray*}$

Dann würde ich durch die beiden Therme, in denen e vorkommt teilen, damit links nur noch das a steht und dann einen Wert für a ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{ln(1)}{(\frac{1}{0,3} e^{3}) - (\frac{1}{0,3} e^{-0,9})} \end{eqnarray*}$

Der Wert für a wäre dann aber 0, da der ln(1) = 0 ist. Wenn ich da in die allererste Gleichung einsetze, kommt aber leider ein falscher Wert raus.

21.04.2019, 14:55

klauss

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen

Zitat:

Original von Tommy90
die anderen Terme lasse ich allerdings so stehen

Das ist dann wohl der entscheidende Fehler, denn im Prinzip steht nach der vollendeten Integration da sowas wie
$\begin{eqnarray*} e^{a}\cdot b=c \end{eqnarray*}$
Da Du jetzt beide Seiten der Gleichung logarithmieren willst, wäre richtig
$\begin{eqnarray*} ln(e^{a}\cdot b)=ln(c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(e^{a})+ ln(b)=ln(c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+ ln(b)=ln(c) \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon wäre es aber auch generell nicht schlecht, vor dem Logarithmieren erstmal ein bißchen aufzuräumen und die Gleichung übersichtlicher hinzuschreiben.
$\begin{eqnarray*} e^{a}\cdot \left(\frac{10}{3}e^{3}-\frac{10}{3}e^{-0,9} \right) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{a}=\frac{3}{10\left(e^{3}-e^{-0,9} \right) } \end{eqnarray*}$
An dieser Stelle ist es noch früh genug für den Logarithmus.
Und zur Übung solltest Du dann die rechte Seite in eine Summe/Differenz von Logarithmen umwandeln können.

22.04.2019, 13:05

Tommy90

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Danke, ich würde dann folgendermaßen weitermachen:

$\begin{eqnarray*} e^{a}=\frac{3}{10\left(e^{3}-e^{-0,9} \right) } \end{eqnarray*}$ | ln

Ist das mit dem Umwandeln in eine Summe/Differenz aus Logarithmen so gemeint?

$\begin{eqnarray*} ln(e^{a})=\frac{ln(3)}{ln(10e^{3}) - ln(10e^{-0,9}) } \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Gleichung dann ausrechne, käme ich auf
$\begin{eqnarray*} a = \frac{1.09861228867}{5.30258509299 - 1.40258509299} = 0,281695458633333 \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Wert 0,281695 in die Formel:
$\begin{eqnarray*} e^{a} *( (\frac{1}{0,3} e^{3}) - (\frac{1}{0,3} e^{-0,9}) )= 1 \end{eqnarray*}$

einsetze, kommt bei mir allerdings nicht 1 raus. Ist vielleicht mein ganzer Ansatz falsch oder habe ich bei den Logarithmen einen Fehler gemacht?

22.04.2019, 13:27

klauss

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Wenn beide Seiten logarithmiert (oder sonstwie bearbeitet) werden, dann geschieht das zunächst einmal für beide Seiten grundsätzlich komplett:
$\begin{eqnarray*} ln\left(e^{a} \right) =ln\left(\frac{3}{10\left(e^{3}-e^{-0,9} \right) } \right) \end{eqnarray*}$
Das kann also nicht falsch sein.
Mit welchen Regeln danach weiter umgeformt werden kann, ergibt sich aus dem jeweiligen Zusammenhang. Aber das von Dir angewandte "Distributivgesetz" für Logarithmen wild über Punkt- und Strichrechnung hinweg gibt es nicht.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} a=ln(3)-ln\left[10\left(e^{3}- e^{-0,9} \right) \right] =ln(3)- \left[ln(10)+ln\left(e^{3} -e^{-0,9} \right)\right]=ln(3)-ln(10)-ln\left(e^{3} -e^{-0,9} \right) \end{eqnarray*}$
Das kannst Du jetzt ausrechnen und einsetzen.

22.04.2019, 14:54

Tommy90

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RE: Exponent von Eulerscher Zahl in Integral bestimmen
Ok, dann komme ich für a auf den Wert 0.01524470242. Wenn ich diesen in die Anfangsformel einsetze, kommt 1 raus, also dürfte es so stimmen.

Zitat:

Mit welchen Regeln danach weiter umgeformt werden kann, ergibt sich aus dem jeweiligen Zusammenhang. Aber das von Dir angewandte "Distributivgesetz" für Logarithmen wild über Punkt- und Strichrechnung hinweg gibt es nicht.

Ich dachte, ich könnte einfach die Klammer unter dem Bruchstrich ausmultiplizieren, bevor ich den ln anwende, aber anscheinend hat das ja nicht funktioniert verwirrt

Auf jeden Fall vielen vielen Dank für die super Hilfe an den Feiertagen smile

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