Vektorraum/Basis

21.04.2019, 16:29	goalgetter666	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum/Basis Meine Frage: Es sei ein Vektorraum V = {f(x)\|f(x)= index 1)sin(x) + index 2)cos(x); ?1,?2 ? ?} gegeben. Die Vektoren e1=sin(x) und e2=cos(x) bilden eine Basis von V. Ich soll in Aufgabenteil d) nun zeigen, dass e1 und e2 orthonormal zueinander sind. Meine Ideen: Ich habe zunächst versucht, die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, indem ich beweisen wollte, dass sin(x)=? x cos(x) nicht in allen Fällen (x = ?/2) erreichbar ist. Die Orthogonalität wollte ich beweisen, indem ich das Skalarprodukt von sin(x) und cos(x) im Integral -? bis ? berechne (womit ich als Resultat 0 bekam). Mein Problem ist nur zu zeigen dass die Basisvektoren beide die Länge 1 haben (da sowohl sin(x) als auch cos(x) variable Funktionen sind). Stimmen die Ansätze bis jetzt und wie kann ich die Länge der beiden Basisvektoren berechnen?
21.04.2019, 18:38	goalgetter777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben V = {f(x)\|f(x)= a sin(x) + b cos(x); a,b element R} sin(x) und cos(x) im Integral -pi bis pi berechne Paar Korrekturen (kann den Post nicht editieren)
21.04.2019, 18:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben Die Länge ist die Norm und die wird mit dem Skalarprodukt berechnet.
21.04.2019, 22:20	goalgetter777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben Tut mir leid aber könntest du etwas näher erläutern was du damit meinst? Danke für die Antwort btw!
21.04.2019, 22:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben Dein Skalarprodukt ist $\begin{eqnarray} <f,g>=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx \end{eqnarray}$ . Dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} 1=\\|f\\|^2=<f,f> \end{eqnarray}$ gilt, wenn du für f einen deiner Basisvektoren einsetzt.
22.04.2019, 10:21	goalgetter777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben $\begin{eqnarray} f(x)=a e1+b cos(x) \end{eqnarray}$ damit müsste ich nun also beweisen das $\begin{eqnarray} \|\|f(x)\|\|^2=1 \end{eqnarray}$ ist? Sorry falls ich da etwas einfaches übersehe hab die Operationen bisher noch nicht mit variablen Vektoren gemacht.
Anzeige

22.04.2019, 11:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben Variablen Vektoren klingt nach einem grundsätzlichen Verständnisproblem, das bei dir noch herrscht. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes, da ist nichts variabel. Vielleicht hilft es, sich die ganze Aufgabe an einem vertrauten Beispiel klar zu machen und dadurch den allgemeinen Rahmen zu verstehen. Nimm die Vektoren $\begin{eqnarray} e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und den davon erzeugten Vektorraum $\begin{eqnarray} W=\{\alpha_1+\beta e_2:\alpha,\beta \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ . Dazu noch das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <u,v>=<\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}>=u_1v_1+u_2v_2 \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} e_1, e_2 \end{eqnarray}$ orthogonal, weil $\begin{eqnarray} <e_1,e_2>=0 \end{eqnarray}$ ist und normiert, weil $\begin{eqnarray} \\|e_1\\|^2=\\|e_2\\|^2=1 \end{eqnarray}$ gilt. Hier ist es jetzt ganz analog. Du hast zwei Vektoren $\begin{eqnarray} e_1:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}, e_1(x)=\cos(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_2:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}, e_2(x)=\sin(x) \end{eqnarray}$ . Ja, das sind Funktionen, aber das tut im Moment nichts zur Sache. Es sind Elemente deines Vektorraumes V, der aus lauter Funktionen besteht. Dazu noch das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} <f,g>=\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\,dx \end{eqnarray}$ Dann sind $\begin{eqnarray} e_1, e_2 \end{eqnarray}$ orthogonal, weil $\begin{eqnarray} <e_1,e_2>=\int_{-\pi}^\pi \cos(x)\sin(x)\,dx=0 \end{eqnarray}$ ist. Analog zum oben Beschriebenen ist für die Normierung zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \\|e_1\\|^2=\\|e_2\\|^2=1 \end{eqnarray}$ gilt, d.h. also mit dem hier definierten Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \\|e_1\\|^2=<e_1,e_1>=\int_{-\pi}^\pi \cos(x)\cos(x)\,dx=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|e_2\\|^2=<e_2,e_2>=\int_{-\pi}^\pi \sin(x)\sin(x)\,dx=1 \end{eqnarray}$
22.04.2019, 11:28	goalgetter777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben Perfekt vielen Dank damit hab ichs verstanden!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »