Vektorraum/Basis

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goalgetter666 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum/Basis
Meine Frage:
Es sei ein Vektorraum V = {f(x)|f(x)= verwirrt index 1)sin(x) + verwirrt index 2)cos(x); ?1,?2 ? ?} gegeben. Die Vektoren e1=sin(x) und e2=cos(x) bilden eine Basis von V.

Ich soll in Aufgabenteil d) nun zeigen, dass e1 und e2 orthonormal zueinander sind.



Meine Ideen:
Ich habe zunächst versucht, die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, indem ich beweisen wollte, dass sin(x)=? x cos(x) nicht in allen Fällen (x = ?/2) erreichbar ist. Die Orthogonalität wollte ich beweisen, indem ich das Skalarprodukt von sin(x) und cos(x) im Integral -? bis ? berechne (womit ich als Resultat 0 bekam). Mein Problem ist nur zu zeigen dass die Basisvektoren beide die Länge 1 haben (da sowohl sin(x) als auch cos(x) variable Funktionen sind). Stimmen die Ansätze bis jetzt und wie kann ich die Länge der beiden Basisvektoren berechnen?
goalgetter777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
*V = {f(x)|f(x)= a sin(x) + b cos(x); a,b element R}
*sin(x) und cos(x) im Integral -pi bis pi berechne

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RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
Die Länge ist die Norm und die wird mit dem Skalarprodukt berechnet.
goalgetter777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
Tut mir leid aber könntest du etwas näher erläutern was du damit meinst? Danke für die Antwort btw!
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RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
Dein Skalarprodukt ist . Dann ist zu zeigen, dass gilt, wenn du für f einen deiner Basisvektoren einsetzt.
goalgetter777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
damit müsste ich nun also beweisen das ist? Sorry falls ich da etwas einfaches übersehe hab die Operationen bisher noch nicht mit variablen Vektoren gemacht.
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RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
Variablen Vektoren klingt nach einem grundsätzlichen Verständnisproblem, das bei dir noch herrscht. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes, da ist nichts variabel. Vielleicht hilft es, sich die ganze Aufgabe an einem vertrauten Beispiel klar zu machen und dadurch den allgemeinen Rahmen zu verstehen.
Nimm die Vektoren und und den davon erzeugten Vektorraum . Dazu noch das Skalarprodukt .
Dann sind orthogonal, weil ist und normiert, weil gilt.

Hier ist es jetzt ganz analog. Du hast zwei Vektoren und . Ja, das sind Funktionen, aber das tut im Moment nichts zur Sache. Es sind Elemente deines Vektorraumes V, der aus lauter Funktionen besteht. Dazu noch das Skalarprodukt
Dann sind orthogonal, weil ist. Analog zum oben Beschriebenen ist für die Normierung zu zeigen, dass gilt, d.h. also mit dem hier definierten Skalarprodukt und
goalgetter777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Mathematische Grundlagen der Physik) Vektorraum/Basis Hausaufgaben
Perfekt vielen Dank damit hab ichs verstanden!
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