Urnenexperiment mit einer unbekannten und einer weißen Kugel

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maria76 Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenexperiment mit einer unbekannten und einer weißen Kugel
In einer Urne befindet sich eine Kugel unbekannter Farbe.
Es wird nun eine weiße Kugel dazu gelegt.
Anschließend wird zufällig eine Kugel der Urne entnommen.
Sie ist weiß.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Kugel in der Urne ebenfalls weiß ist?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine weiße Kugel sei das Ergebnis "1" und eine nicht-weiße Kugel das Ergebnis "0". Würde man nur die Kugel unbekannter Farbe in die Urne hineinlegen und dann ziehen, wäre die Ergebnismenge .

Von welcher Gestalt ist die Ergebnismenge bei der genannten Problemstellung?

Noch eine Auffäligkeit die möglicherweise auch der Aufgabenstellung entspricht: Da ist schon ein Ereignis eingetreten und dann wird gefragt, wie wahrscheinlich es ist dass ein weiteres, vom ersten abhängiges Ereignis eintritt. Das riecht stark nach einem zweistufigen Experiment und bedingter Wahrscheinlichkeit.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Kugel unbekannter Farbe weiß ist, habe die Wahrscheinlichkeit p.

Der Pfadbaum müsste die folgende Struktur besitzen:

[attach]49151[/attach]

Zum Ermitteln bestimmter Ereignisse braucht man jetzt nur noch die beiden Pfadregeln anwenden.

Hier wird mit Wahrscheinlichkeit 0,5 die unbekannte Kugel als virtuelles Ergebnis gezogen, welches aber nun sofort zerfällt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5p weiß wird, oder zu 0,5(1-p) eine andere Farbe annimmt. Dass bei der ersten Ziehung eine weiße Kugel auftaucht, hat die Wahrscheinlichkeit 0,5p+0,5.

Gesucht ist das Ereignis (Weiß,Weiß). Das ist kein einfaches Ergebnis, da es zwei Pfade gibt, die zu diesem Ereignis führen. Die Wahrscheinlichkeit dafür müsste 0,5p+0,5p = p sein. Das ist zufälligerweise die selbe Wahrscheinlichkeit, wie wenn die hinzugefügte weiße Kugel als gezogen vorausgesetzt wurde, denn diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist ja die Wahrscheinlichkeit der rechten-rechten Kante von (Weiß,?) zu (Weiß,Weiß).
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mmh.. meiner Meinung nach ist nach einmaligem Ziehen keine nichttriviale Aussage möglich.

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis "Weiß" ist 0.5 oder 1. Gibt man der 2. Kugel eine gewisse "Weißwahrscheinlichkeit" dann aus dem Intervall 0.5 - 1. Also nix besonderes wenn es eintritt.

Erst eine Statistik könnte da mehr liefern

Wenn z.B. der Versuch 5 mal wiederholt wird, mit dem Ergebnis 5 x Weiß , dann könnte man sagen :

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Urnenexperiment mit einer unbekannten und einer weißen Kugel
Zitat:
Original von maria76
In einer Urne befindet sich eine Kugel unbekannter Farbe.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie weiß oder nicht-weiß? Ohne diese Information kann man nichts rechnen. Mir scheint, darauf will auch Dopap hinaus.

Ich bezeichne die in der Urne befindliche Kugel mal mit B. Sie sei mit Wahrscheinlichkeit weiß =1 und mit Wahrscheinlichkeit nicht-weiß =0.





Zitat:
Anschließend wird zufällig eine Kugel der Urne entnommen.

Hier soll offenbar angenommen werden, dass jede der beiden in der Urne befindlichen Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird.

Die gezogene Kugel bezeichne ich mit G, die in der Urne verbliebene Kugel mit V. Gesucht ist



Es ist



Denn dieses Ereignis kann nur eintreten wenn die Kugel B weiß war. Für den Nenner ergibt sich nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit



Damit hat man dann

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte nicht bedacht, dass jedwede Information das Experiment betreffend die Wahrscheinlichkeit (aus meiner Sicht heraus ) verändert.

Beispiel: man zieht verdeckt aus einer Urne mit 10 Kugeln - davon 1 weiß - eine Kugel und legt diese in eine neue Urne. Der Spielleiter gibt sichtbar eine weiße Kugel hinzu. Eine zufällige Entnahme fördert eine weiße Kugel zutage.

- Wahrscheinlichkeit "weiß" vorher für die einzige Kugel in Urne = 10.0%
- Wahrscheinlichkeit "weiß" nachher für die einzige Kugel in Urne = 18.2%

Würde der Spielleiter mehrere weiße Kugeln hinzufügen, dann läge die Wahrscheinlichkeit echt zwischen 10 und 18.2%
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, die Lösung von Huggy müsste richtig sein.

Ich hatte fälschlich angenommen, der Gedankengang wird aber durch wiedergegeben.

Die Simulation bestätigt Huggys Lösung:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:
54:
55:
56:
import random

# Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, wenn die Simulation
# des Experiments n mal durchgeführt wird.
def P(n,A):
    H = 0
    for k in range(n):
        if A(): H+=1
    return H/n

# Unbekannte Kugel.
# Simuliere für p = 10%.
def B():
    return 1 if random.randint(1,10)==1 else 0

# Gezogene Kugel.
# Bei G()==1 kommt 50%*p+50% raus.
def G():
    return random.choice([B(),1])

# V=1 und G=1.
# Da kommt 10% für p==10% bei raus.
def VundG():
    Urne = [B(),1]
    random.shuffle(Urne)
    return Urne.pop()==1 and Urne.pop()==1

# Verbliebene Kugel.
# Bei V()==1 kommt 55% für p==10% raus.
def V():
    Urne = [B(),1]
    random.shuffle(Urne)
    Urne.pop()
    return Urne.pop()

# V=1 bedingt G=1.
# Macht 18.2% für p==10%.
def VbedingtG():
    while True:
        Urne = [B(),1]
        random.shuffle(Urne)
        if Urne.pop()==1:
            return Urne.pop()==1

random.seed(0)

# Zahl vergrößern bis es euch zu lange dauert.
n = 100000

print("P(B=1):",P(n,lambda: B()==1))
print("P(G=1):",P(n,lambda: G()==1))
print("P(V=1):",P(n,lambda: V()==1))
print("P(V=1 und G=1):",P(n,VundG))
print("P(V=1|G=1):",P(n,VbedingtG))
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

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