Substitution von uneigentlichen Intergal

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HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution von uneigentlichen Intergal
Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich soll den Wert des Integrals bestimmen. Als Hinweis ist gegeben, dass die Substitution verwendet werden soll. Leider stehe ich so ein bisschen auf dem Schlauch.

Meine Ideen:
Wenn mit obigen substituiert wird, dann folgt mit der Kettenregel für die Ableitung von t . Wenn ich nun die Substitution durchführe, dann erhalte ich . Ich erkenne nun leider überhaupt nicht, wie ich hier weiter machen soll. Man könnte mit der dritten binomischen Formel den Nenner etwas vereinfachen, aber ich bezweifle, dass das was bringen wird. Ich wäre also sehr dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Zunächst ist es günstig, den Bruch mit zu erweitern und dann die 3. binomische Formel anzuwenden. Dann vereinfacht sich der Nenner beträchtlich.

Ich bin noch nicht ganz durch mit der Berechnung, es zeichnet sich aber letztlich ein simples Ergebnis ab.
HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Du hast Recht, der Nenner wird dann 1. Man erhält dann . Da steht dann aber immer noch ein x, welches ich durch die Substitution nicht wegbekomme. Leider komme ich an dieser Stele nicht wirklich weiter.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Also ich erhalte

Wir hatten bereits auf umgestellt.
D. h. es gibt jetzt noch 2 Dinge zu tun:
1) alle verbliebenen eliminieren und durch ausdrücken
2) Integralgrenzen anpassen

Für Punkt 1) vergleichen wir das aktuelle Integral mit der ursprünglichen Substitution. Was fällt Dir da auf?
HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Achso, ich habe die Klammern aufgelöst und damit dann weiter überlegt.

Wenn ich das aktuelle Integral mit der Substitution vergleiche, dann fällt auf, dass -t ist. Man könnte also schon mal umformen zu . Zusätzlich könnte man weiter ein x subtrahieren und wieder addieren, sodass man erhält. Hier bin ich aber noch nicht schlüssig, ob das zu was führt.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Na, der Nebel lichtet sich doch.
Das letzte kriegen wir auch noch weg, indem wir die Substitution komplett nach auflösen und nachsubstituieren.

Danach folgt Punkt 2).
 
 
HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Nach x umgeformt ergibt sich , sodass ich dann für das Integral erhalte. Wenn ich dann die Integralgrenzen anpasse, erhalte ich 1 für die untere und 0 für die obere, insgesamt muss also nur noch das Integral gelöst werden, was ergibt.


Das ist jetzt so meine Lösung. Ich hoffe, ich habe das soweit richtig gemacht.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
WolframAlpha bestätigt die Richtigkeit des Ergebnisses, wenn man das ursprüngliche Integral eingibt.
Ansonsten ist dem nichts mehr hinzuzufügen.
Freude
HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Das beruhigt mich ungemein. Ich habe noch eine letzte Frage zu der Anpassung der oberen Grenze: ich habe t als betrachtet und gesagt, was man mit gewisser Abschätzung erreicht.
Ist die Bildung des Grenzwertes formal so korrekt oder sollte ich noch beschreiben, was ich mir bei der Berechnung des Grenzwertes gedacht habe?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Zitat:
Original von klauss
Ansonsten ist dem nichts mehr hinzuzufügen.


Vielleicht dieses noch:

@HelpMe135: Wenn du Lust hast, kannst du ja noch mal folgendes (allgemeine) Integral berechnen / nachweisen (für ):



Eine alternative Substitution wäre übrigens . Mit und (Eulersche Identität) ist man denn schnell am Ziel.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Die Grenzwertberechnung für sollte man in diesem Fall tatsächlich klarstellend sauber dokumentieren.
Grenzwertberechnungen vom Typ dieses letzteren treten gern beim Thema Folgenkonvergenz auf. Standard-Lösungsmethode ist wiederum Erweiterung zu einem Bruch nach 3. binomischer Formel.
HelpMe135 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution von uneigentlichen Intergal
Okay, dann überlege ich mir dazu etwas. Vielen Dank für deine Hilfe und noch frohe Ostern.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Man hätte sich auch mal den Graphen des Integranden anschauen können und sofort festgestellt, dass der übermäßig ähnlich zu ist. Rechnet man dieses Wissen heraus, kommt wieder eine Funktion zum Vorschein, deren Graph man eigentlich kennen müsste: . Demnach gilt

Die Substitution drängt sich nun sofort auf, zumal sinh auch angenehm bijektiv ist.

Natürlich wäre das alles sofort ersichtlich, wenn die Formel

im Gedächtnis stünde.
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