Riemann-integrierbare Funktion

23.04.2019, 10:14

finley0104

Riemann-integrierbare Funktion

Meine Frage:
Sei f:[-a,a]-> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeigen Sie:
a) Ist f gerade, so gilt $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{-a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ =2 $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{0} \! f(x) \, dx \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
b) Ist f ungerade, so gilt $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{-a} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ = 0

Meine Ideen:
meine Vermutung ist, dass a falsch und b wahr ist. allerdings fällt mir zu a kein Gegenbeispiel ein und bei b weiß ich leider nicht wie ich das beweisen soll. Ich weiß wohl das eine gerade Funktion ist wenn gilt das f(-x)=f(x) und für eine ungerade Funktion gilt -f(x)=f(-x) gilt
aber leider weiß ich nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir ja helfen

23.04.2019, 10:33

Leopold

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RE: Riemann integrierbare Funktion

Zitat:

Original von finley0104
Zeigen Sie:

Es heißt nicht: "Untersuchen Sie, ob ..."
Wenn wir einmal annehmen, daß niemand bösartig einem anderen eine mission impossible überträgt, ist anderes zu erwarten, als von dir gemutmaßt.
Stimmen die Integrationsgrenzen?
Hast du schon eine Skizze angefertigt?

23.04.2019, 11:49

sixty-four

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RE: Riemann integrierbare Funktion
Fang doch einfach mal so an:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_a^{-a} f(x) \, dx= \int \limits_a^{0} f(x) \, dx + \int \limits_0^{-a} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Im zweiten Summanden auf der rechten Seite benutzt du jetzt die Eigenschaft einer geraden Funktion: $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$
Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_a^{-a} f(x) \, dx= \int \limits_a^{0} f(x) \, dx + \int \limits_0^{-a} f(-x) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt machst du im zweiten Integral auf der rechten Seite eine lineare Substitution.

Kommst du jetzt weiter?

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