Stetigkeit der Gammafunktion nach Gauss

23.04.2019, 11:00	alecorrent	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Gammafunktion nach Gauss Meine Frage: Definiere die Gammafunktion $\begin{eqnarray} \Gamma(z) := \frac{1}{G(z)} \quad \forall \, z\in\mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, ... \} \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} G: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \, \, \, G(z) := \lim_{n\to\infty} G_n(z) \quad \text{und} \quad G_n(z) := \frac{z(z+1) \cdot ... \cdot (z+n)}{n! \cdot n^z} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: Gammafunktion ist stetig Meine Ideen: Für das machen, zeigen wir das $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ stetig ist mit Nullstelle genau in die Punkte $\begin{eqnarray} 0, -1, -2, ... \end{eqnarray}$ . Zuerst muss ich zeigen das die Folge (G_n)_n konvergiert: $\begin{eqnarray} \text{Für $z \in \mathbb{C}$ nehmen wir $R \in \mathbb{N}$ s.d. $\|z\| < R$. Dann, für $N \geq 2R$ wir können schreiben} \quad<br /> G_N(z) = G_{2R-1}(z) \cdot \prod_{n=2R}^{N} \frac{G_n(z)}{G_{n-1}(z)} = G_{2R-1}(z) \cdot \exp \sum_{n=2R}^N \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)} \end{eqnarray}$ Ich habe schon beweise, dass die Reihe $\begin{eqnarray} S := \sum_{n=2R}^{\infty} \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)} \end{eqnarray}$ gleichmässig konvergiert auf $\begin{eqnarray} K_R(0) \end{eqnarray}$ (Kügel mit Radius R und Zenter 0). Dann, $\begin{eqnarray} \exp(S_N) \end{eqnarray}$ konvergiert zu $\begin{eqnarray} \exp(S) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} K_R (0) \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} S_N := \sum_{n=2R}^N \ln \frac{G_n (z)}{G_{n-1}(z)} \end{eqnarray}$ Also wir sehen, dass $\begin{eqnarray} G_N \end{eqnarray}$ konvergiert. Nun, zur beweisen die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , ich glaube, dass müss ich zeigen die gleichmässig Konvergenz von $\begin{eqnarray} G_N \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , aber ich habe einige Probleme zu das machen. Ich weiss, dass $\begin{eqnarray} \exp(S_N) \end{eqnarray}$ konvergiert auch gleichmässig zu $\begin{eqnarray} \exp(S) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} K_R(0) \end{eqnarray}$ , aber ich finde nicht wie machen das folgend. Haben Sie vielleicht einige Tipps oder Hinweise? Danke viel mal!!

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