Integral von 0-1 {x^n*ln(x) dx}

24.04.2019, 15:28

SM!LE

Integral von 0-1 {x^n*ln(x) dx}

Guten Tag,

ich sitze derzeit über einer Aufgabe und habe die erste Teilaufgabe gelöst.
Die 2. bereitet mir allerdings Kopfzerbrechen verwirrt

.

Aufgabe:
Man berechne mittels partieller Integration für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N_0} \end{eqnarray*}$ das Integral

$\begin{eqnarray*} \ \int_0^1{x^n \cdot ln(x) \ dx} \end{eqnarray*}$ .

Für welches $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N_0} \end{eqnarray*}$ erhält man ein uneigentliches Integral?

Mein Lösungsansatz:

Als erstes habe ich, wie in der Aufgabe gefordert, partiell integriert:

$\begin{eqnarray*} \ \int_0^1{x^n \cdot ln(x) \ dx} = \left[\frac{x^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(x)-1\right)}{\left(n+1\right)^2}\right]_0^1 \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle hänge ich jetzt. Ich kann doch das bestimmte Integral wegen dem $\begin{eqnarray*} ln(0) \end{eqnarray*}$ nicht lösen oder?

Muss ich hier $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ durch eine Variable ersetzen und dann im späteren Verlauf mit dem Limes arbeiten? (würde das an der Tatsache etwas ändern?)

Vielen Dank für die Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

24.04.2019, 16:07

MaPalui

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Hallo SM!LE,

ja, genau so musst du das machen.
Und an der Tatsache wird sich dann sogar sehr stark etwas ändern, wenn du dir einmal $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\cdot ln(x) \end{eqnarray*}$ anschaust.

24.04.2019, 16:23

SM!LE

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Zitat:

Original von MaPalui

Und an der Tatsache wird sich dann sogar sehr stark etwas ändern, wenn du dir einmal $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0} x\cdot ln(x) \end{eqnarray*}$ anschaust.

Oh Gott stimmt.
Vielen Dank smile

Hab als Ergebnis jetzt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow 0+} = \left[\frac{x^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(x)-1\right)}{\left(n+1\right)^2}\right]_a^1 = -\frac{1}{\left(n+1\right)^2} \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 16:24

MaPalui

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Bingo

Wobei du die Schreibweise mit dem Grenzwert allerdings formal korrekt ebenfalls anführen musst.

24.04.2019, 16:36

SM!LE

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Also so?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow 0+} = \frac{1^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(1)-1\right)}{\left(n+1\right)^2} - \underbrace{\frac{a^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(a)-1\right)}{\left(n+1\right)^2}}_{\Large \substack =0} = -\frac{1}{\left(n+1\right)^2} \end{eqnarray*}$

24.04.2019, 16:39

MaPalui

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Ja der lim ist korrekt aufgeschrieben. Jenachdem für welchen Zweck du das machst solltest du bei der Klammer "=0" etws ausholen (Übungsblatt, Klausur...)
Für dein eigenes Verständnis aber hast du das auf jeden Fall korrekt gelöst.

LG
Maren

26.04.2019, 20:43

SM!LE

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Zitat:

Original von MaPalui
...bei der Klammer "=0" etws ausholen (Übungsblatt, Klausur...)...

Du meintest, dass man in Klausuren da etwas weiter ausholen sollte.
Wie genau würde ich nachweisen, dass es wirklich 0 wird in dieser Grenzwertbetrachtung ?

LG
SM!LE

Ps: Sorry das ich nochmal nachhaken muss verwirrt

27.04.2019, 10:28

MaPalui

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RE: Integral von 0-1 {x^n*ln(x) dx}
Ich würde dann so etwas schreiben wie
"...=0, da $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow 0}x\cdot \ln(x) = 0 \text{(nach Vorlesung / vorheriger Übungsaufgabe)"} \end{eqnarray*}$

Solltet ihr das nämlich noch nicht gezeigt haben, wäre das natürlich noch deine Aufgabe.

Was mir gerade noch an deinem Post auffällt:

Zitat:

Original von SM!LE
Also so?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow 0+} = \frac{1^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(1)-1\right)}{\left(n+1\right)^2} - \underbrace{\frac{a^{n+1}\cdot\left((n+1)\cdot ln(a)-1\right)}{\left(n+1\right)^2}}_{\Large \substack =0} = -\frac{1}{\left(n+1\right)^2} \end{eqnarray*}$

Hinter $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow 0} \end{eqnarray*}$ musst du noch den Term schreiben.

28.04.2019, 14:31

SM!LE

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Also so?

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\rightarrow 0+}x \cdot ln(x)=\lim\limits_{a\rightarrow 0+}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{a\rightarrow 0+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{a\rightarrow 0+}-x=0 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe smile

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

28.04.2019, 18:48

MaPalui

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