L1, L2 und L_unendlich Norm von x(t)=1/t

24.04.2019, 16:51	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
L1, L2 und L_unendlich Norm von x(t)=1/t Hallo, ich stehe gerade vor der Aufgabe, die $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_{\infty} \end{eqnarray}$ Norm der Funktion $\begin{eqnarray} <br /> x(t)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{t}, & t \ge 1 \\<br /> 0, & t<1 \end{array}\right. .<br /> \end{eqnarray}$ Lt. der mir vorliegenden Definition ist z.B. die $\begin{eqnarray} L_1 \end{eqnarray}$ norm folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_1 = \int_{t_0}^{t_1} \|x(t)\| dt \end{eqnarray}$ . Das Ergebnis liegt mir auch vor, es sollte $\begin{eqnarray} \|\|x\|_1 = \infty \end{eqnarray}$ rauskommen, die Norm existiert also nicht. Ich integriere ja nur von $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ , warum sollte da $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ rauskommen? Es scheint mir so, als ob dann noch der Grenzübergang von $\begin{eqnarray} \lim_{t_1 \to \infty} \int_{t_0}^{t_1} \|x(t)\| dt \end{eqnarray}$ gemacht werden würde. Aber wo steht das in der Definition der Norm?
24.04.2019, 17:47	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: L1, L2 und L_unendlich Norm von x(t)=1/t Hallo, es kommt auf den Definitionsbereich der zugrundeliegenden Funktionen an. Hier scheint es um eine Funktion zu gehen, die auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert ist, also um den Raum $\begin{eqnarray} L_1(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Dann ist die entsprechende Norm: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_1:= \int_{-\infty}^{\infty} \|x(t)\| dt \end{eqnarray}$

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