Gewöhnliche Differentialgleichungen (System erster Ordnung, autonom, linear)

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Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichungen (System erster Ordnung, autonom, linear)
Meine Frage:
Hey, ich habe eine Aufgabe im Anhang hinzugefügt, falls es nicht geklappt hat werde ich sie gerne nochmal abtippen.

a.) Meine erste Frage ist besteht das Autonome System immer aus einer Zeile mehr als zugehörige System erster Ordnung? Wenn ich z.B. bei der erste Differentialgleichung setze, gehört dann die Zeile mit ins autonome System oder kann ich diese auch weglassen?

b.) Meine zweite Frage betrifft die Gleichung (11). Sind hier 2 Differentialgleichungen gemeint, also soll ich zwei verschiedene Systeme erster Ordnung bilden, einmal (11.1) und einemal (11.2) ? Wenn nein wäre ich erfreut falls mir jemand erzählen könnte was genau zu tun ist Big Laugh

c.) Meine dritte Frage betrifft Aufgabenteil 3.). Welche Gleichungen sind Linear?

Meine Ideen:
Zur Linearität haben wir gelernt ein System oder eine DGL heißt linear, falls die Koeffizienten der Zustandsvariablen höchstens von der unabhängigen Variablen abhängen. Bei (11) würde ich sagen die sind linear weil sie konstante Koeefizienten haben (1 und 0). Bei der (12) würde ich sagen nicht linear, da der Koeffizient auch vom Cosinus abhängt und Cosinus nicht linear ist. Bei der (10) bin ich mir nicht sicher, zwar hat x den Koeffizienten 1 aber würde ich als nicht linear bezeichnen. Das Problem ist das wir die Linearität nur über die Koeffizienten definiert haben und ist ja nicht der Koeffizient von . Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen.

LG
Moritz
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ein nicht-autonomes System

vorliegt, lässt sich der neue Zustand

und das neue Vektorfeld

definieren. Nun gilt

Das System ist autonom.
 
 
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen (System erster Ordnung, autonom, linear)
So zurück von der Arbeit Augenzwinkern
Dann habe ich bei der (10) folgendes autonomes System bekommen:



Und bei der (12):



Bei der (11) bin ich mir immer noch nicht sicher was ich machen muss, wie ich aus zwei DGL ein System erster Ordnung erstellen kann. Wäre für jeden Hinweis sehr dankbar.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Setze .

Dann ergibt sich


Das System ist offenbar schon autonom.

Ein lineares autonomes System lässt sich als schreiben, wobei die Matrix und der Vektor konstant sind. Es wäre auch und erlaubt, das ist aber durch die Autonomie unterbunden.
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