Beweis zum Thema Orthonormalsystem

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Ortho Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zum Thema Orthonormalsystem
Meine Frage:
Ich soll folgendes Beweisen:
Wenn die Vektoren ein Orthonormalsystem im Vektorraum V bilden gilt für alle v :


Insbesondere soll die Aussage gelten wenn eine Orthonormalbasis von V bilden.

Meine Ideen:
Bisher konnte ich nur an Beispielen erkennen, dass die Aussage stimmt leider konnte ich nicht wie gehofft daraus schließen wie ich den Beweis führen soll.
Ein Ansatz wäre hilfreich.
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RE: Beweis zum Thema Orthonormalsystem
heißt, dass man v als Linearkombination der w_i schreiben kann.
Jetzt muss man nur noch Skalarprodkte bilden.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle den Vektor formal als Linearkombination der Vektoren mit noch unbekannten Koeffizienten dar:



Um die unbekannten Koeffizienten zu bekommen, multipliziere diese Gleichung nacheinander mit den Vektoren Koeffizienten . Was passiert dann, wenn man beachtet, dass die Skalarprodukte für i=j den Wert 1 ergeben und für verschwinden?
Ortho Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet also:
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Betrachte die Linerakombination mit noch unbekannten Koefizienten



Wenn man diese Gleichung nacheinander mit , , ... multiplizuert, erhält man nacheinander die n Gleichungen



...



Setzt man dies anstelle der in die obige Liearkombination ein, hat man das Gewünschte.
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