Kräftezerlegung an schiefer Ebene

25.04.2019, 19:38

Philosoph1234

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Kräftezerlegung an schiefer Ebene

Meine Frage:
Hallo,

komme bei der unten als Bild hochgeladenen Aufgabe nicht weiter.

Meine Ideen:
Die Kraft F kann ich schonmal in seine Komponenten zerlegen.

Fx=cos(165°)*300N=-289,78N
Fy=sin(165°)*300N=77,64N

Jetzt verstehe ich die Aufgabe so, dass die Komponenten von Fg und F die Tangentialkraft und Normalkraft sind.

Dazu bräuchte ich aber die x und y Komponente der Kraft Fg und weiss nicht wie ich die ermitteln soll. Habe zwar den Winkel gegeben aber von der Schiefen Ebene. Ich weiß wirklich nicht mehr weiter.

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe

25.04.2019, 22:31

Dopap

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sowas kann man verschieden lösen. Wenn es etwas schwieriger wird kann man aber mit der Komponenten-Berechnung in Probleme geraten.
Deshalb notiere ich erst alle angreifenden- und resultierenden Kräfte ( in Newton ) vektoriell. Als Koordinatensystem ganz normal mit X waagrecht und Y senkrecht. Die Winkel von X - Achse links herum.

$\begin{eqnarray*} \vec N+\vec F +\vec G = \vec T \end{eqnarray*}$ und in Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} \binom {N}{130°}+ \binom {F}{15°}+\binom {G}{270°}=\binom {T}{40°} \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \binom {N}{130°}+ \binom {300}{15°}+\binom {400}{270°}=\binom {T}{40°} \end{eqnarray*}$ jetzt kann man ohne Winkelrechnerei in kartesische Koordinaten umrechnen

$\begin{eqnarray*} \binom {N\cdot \cos 130°}{N\cdot \sin 130°}+ \binom {300\cdot \cos 15°}{300\cdot \sin 15°}+\binom {400\cdot \cos 270°}{400 \cdot \sin 270°}=\binom {T\cdot \cos 40°}{T\cdot \sin 40°} \end{eqnarray*}$

gut, sieht etwas wild aus, aber eine klare Struktur ist erkennbar. Nun soweit wie möglich ( z.B. 5-ziffrige) Dezimalzahlen einsetzen und zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \binom {-0.64279\cdot N}{0.76604\cdot N}+\underbrace{ \binom {289.78}{77.646}+\binom {0}{-400.00 }}_{\text{noch addieren!}}=\binom {0.76604\cdot T}{0.64279\cdot T} \end{eqnarray*}$

Zeilenweise in Komponenten geschrieben sind das 2 lineare Gleichungen in den Variablen $\begin{eqnarray*} N,T \end{eqnarray*}$

25.04.2019, 23:59

mYthos

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Zitat:

Original von Dopap
...
$\begin{eqnarray*} \vec N+\vec F +\vec G = \vec T \end{eqnarray*}$
...

Sicher?

verwirrt

Ich tendiere zu $\begin{eqnarray*} \vec F - \vec N + \vec G - \vec T = \vec 0 \end{eqnarray*}$ , also zu $\begin{eqnarray*} \vec F + \vec G = \vec T + \vec N \end{eqnarray*}$

mY+

26.04.2019, 08:01

Dopap

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eigentlich bin ich mir schon sicher.

Die Normalkraft $\begin{eqnarray*} \vec N \end{eqnarray*}$ ist hier als die am Körper angreifende Kraft eingezeichnet, also korrekt als Reaktionskraft der Unterlage.

Oft wird als Normalkraft ( negativ) als die Aktionskraft des Körpers eingezeichnet. Das hast du anscheinend gedanklich übernommen.

Sehr gut ist, dass $\begin{eqnarray*} \vec N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \,\vec T \end{eqnarray*}$ als virtuelle Pfeile und nicht in fett eingezeichnet sind.

Falls man Dynamik macht, kann man auch in das mitbeschleunigte Bezugsystem wechseln und $\begin{eqnarray*} -\vec T \end{eqnarray*}$ als Trägheitskraft derart auffassen, dass die Vektorsumme $\begin{eqnarray*} \vec 0 \end{eqnarray*}$ ist

Das ist hier aber nicht das Thema.

26.04.2019, 13:01

mYthos

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Wenn man mal F aussen vor lässt. bin ich davon ausgegangen. dass die Gewichtskraft G in die zwei Komponenten T und N zerlegt wird. Das würde auch in die Nullsumme passen, allerdings müsste dabei F negativ genommen werden.

Wie gesagt, sicher bin ich mir da jetzt nicht.

mY+

26.04.2019, 15:21

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
bin ich davon ausgegangen. dass die Gewichtskraft G in die zwei Komponenten T und N zerlegt wird.

Das sehe ich auch so. Ebenso wird F in zwei solche Komponenten zerlegt. Und diese Teilkräfte senkrecht und parallel zu der schiefen Ebene werden üblicherweise auch nicht wieder in Komponenten in x- und y-Richtung zerlegt, denn es sind ja fast immer die Kräfte senkrecht und parallel zur schiefen Ebene, die für weitere Rechnungen gebraucht werden, wie z. B. die Beschleunigung des Körpers entlang der schiefen Ebene und die Reibkraft zwischen Körper und Ebene. Nach dem Text der Aufgabe ist auch nicht nach der Normalkraft gefragt (der Reaktionskraft der schiefen Ebene) sondern nach den Normalkomponenten der gegebenen Kräfte, was allerdings nur Einfluss auf das Vorzeichen hat.

@Philosoph1234
Es empfiehlt sich, wenn man noch nicht so viel Übung hat, sich eine Skizze zu machen:

[attach]49164[/attach]

Aus den rechtwinkligen Dreiecken kann man dann alle gesuchten Kräfte problemlos ablesen, z. B.

$\begin{eqnarray*} F_n=-F \sin (25°) \end{eqnarray*}$

Zum Schluss addiert man:

$\begin{eqnarray*} N=G_n+F_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=G_t+F_t \end{eqnarray*}$

Bei den Vorzeichen sind die in der Aufgabenskizze gegebenen n- t-Richtungen zu beachten. Macht man die Skizze maßstabsgerecht, kann man seine Rechergebnisse in der Skizze nachmessen.

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26.04.2019, 16:13

Dopap

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Zitat:

... Bestimmen Sie Tangential- und Normalkomponente der am Körper resultierenden Kraft ...

und das zeigt auch die Zeichnung, und wie das zu bewerkstelligen ist, ist nicht vorgegeben.

Man kann $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ in parallel und senkrecht zur Ebene zerlegen, muss aber nicht.

Sollte weiter gerechnet werden stehen jederzeit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ für Reibung und Beschleunigung zur Verfügung.

26.04.2019, 23:37

klauss

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RE: Kräftezerlegung an schiefer Ebene
Ein Wunder, dass das Thema nicht unter Verweis auf die Physiker geschlossen wurde. Daher noch ein Alternativansatz:

Ich lege in den Schwerpunkt des Körpers den Ursprung eines üblichen kart. Koordinatensystems. Dann ist
$\begin{eqnarray*} \vec{F_{G} } =400\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{F} =300\begin{pmatrix} cos(15°) \\sin(15°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Resultierende:
$\begin{eqnarray*} \vec{F_{R} }=\vec{F_{G} }+\vec{F} =\begin{pmatrix} 300cos(15°) \\ 300sin(15°)-400 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Tangential- und Normalkomponente bezüglich der schiefen Ebene entsprechen den Koordinaten der Resultierenden bezüglich des gedrehten Koordinatensystems mit der Basis
$\begin{eqnarray*} \vec{b_{1} }=\begin{pmatrix} cos(40°) \\ sin(40°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{b_{2} }=\begin{pmatrix} cos(130°) \\ sin(130°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da es sich um eine ONB handelt, lassen sich die Koordinaten der Resultierenden durch die Skalarprodukte
$\begin{eqnarray*} <\vec{F_{R} },\vec{b_{1} }> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\vec{F_{R} },\vec{b_{2} }> \end{eqnarray*}$
berechnen.
Damit:
$\begin{eqnarray*} \vec{T} =14,777 \vec{b_{1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{N} =-433,203 \vec{b_{2}} \end{eqnarray*}$
Stimmt nach meiner Probe mit Huggys Ergebnissen überein.

27.04.2019, 00:33

mYthos

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RE: Kräftezerlegung an schiefer Ebene

Zitat:

Original von klauss
Ein Wunder, dass das Thema nicht unter Verweis auf die Physiker geschlossen wurde. ...

Na ja, es ist doch schon auch einige Mathematik dabei!

mY+

27.04.2019, 08:36

Huggy

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RE: Kräftezerlegung an schiefer Ebene
Den Fragesteller scheint das alles nicht zu interessieren.

27.04.2019, 21:21

Philosoph1234

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RE: Kräftezerlegung an schiefer Ebene
Hallo,
danke für eure Hilfe, ehrlich. Hat mir sehr geholfen. Leider hatte ich in den letzten Tagen keine Zeit mich bei euch zu bedanken.
Was ich mich frage ist aber immernoch wie ihr auf die Unbekannten Winkel gekommen seit. Es waren doch nur die 15° bei F bekannt und die 40° der Schiefen Ebene bei FG. Also wie kommt man auf die Unbekannten Winkel?

28.04.2019, 08:35

Huggy

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RE: Kräftezerlegung an schiefer Ebene
Schau dir noch mal meine Skizze an. Die 25° ergben sich als Differenz 40° - 15°. Der zweite Kathetenwinkel in dem gelblich bis orangen rechtwinkligen Dreieck wäre 90° -25°. Den braucht man aber nicht unbedingt. Es genügt immer einen der Kathetenwinkel zu kennen. In dem blauen Dreieck ergänzt der Innenwinkel oben die eingezeichneten 40° der schiefen Ebene zu 90°, beträgt als 90° - 40° = 50°. Damit ist der Innenwinkel unten wieder 40°. Das ist der Vorzug einer solchen Skizze. Man kann alle benötigten Winkel völlig problemlos ermitteln.

28.04.2019, 18:50

Philosoph1234

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Obwohl ich alle Lösungsvorgänge gut finde,ist mir der Lösungsvorgang von Dopap am anschaulichsten. Warum wurden jedoch hier alle alle Kräfte zusammen addiert und als Ergebnis die Tangentialkraft benutzt ??

28.04.2019, 21:38

Dopap

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die Daten der Aufgabe lassen den Schluss zu, dass $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ die einzige Kraft ist die den Körper längs der Ebene bewegen ( beschleunigen ) könnte.

Also $\begin{eqnarray*} T=ma \end{eqnarray*}$ ohne Reibung.

Wenn vorher so ziemlich klar ist wohin die Zwangskraft zeigt, dann zeichnet man den Pfeil auch in diese Richtung.

Aus der Größe und Richtung der anschiebenden Kraft $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ liegt die Vermutung nahe dass die Tangentialkomponente den Hangabtrieb übertrifft und es bergauf geht.
Und sollte dann die Rechnung $\begin{eqnarray*} T<0 \end{eqnarray*}$ ergibt, dann hat man sich eben geirrt, was aber rein gar nichts bedeutet.

Beispiel : Eine unter das Sofa gerollte Garnrolle wird schräg unten am inneren Durchmesser am Faden gezogen. Macht man das vorsichtig kommt die Rolle eventuell zum Vorschein. Sicher kann man sich je nach Zugkraft , Geometrie und Haftreibung aber nicht sein.
Also nimmt man einfach mal ein positives Verhalten der Rolle an. smile

smile

edit: meine Rechnung ist ziemlich physikalisch, aber effektiv. Man stellt eine richtige Gleichung auf und der Rest geht vollautomatisch.
Bei der ( mathematischen ) Lösung von Klauss muss mich konzentrieren, um die einzelnen Schritte nachvollziehen zu können.

08.05.2019, 01:48

Philosoph1234

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Ist diese Gleichung richtig:

0=N*cos130+T*sin40+F*cos15

400=N*sin130+T*sin40+F*sin15

?

08.05.2019, 03:12

Philosoph1234

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Natürlich müste es in der ersten Gleichung auch cosinus heißen.

Wenn ich die Gleichung jedoch auflöse kommt genau das Gegenteil raus,sprich Ergebnis ist zwar richtig aber Vorzeichen sind vertauscht.

T=433,2

N=-14,7

08.05.2019, 12:48

Dopap

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das sind so die typischen "Schwierigkeiten" wenn man mit Beträgen Winkeln und rechtwinkligen Dreiecken rechnet.
Umso mehr musst du bei der Rechnung die Richtung von $\begin{eqnarray*} \vec N,\,\vec T \end{eqnarray*}$
im Auge behalten.
Eine Zerlegung einer angreifenden Kraft in Komponenten ist nicht dasselbe wie die am Körper angreifenden Komponenten.
Die Aufgabe bewegt sich im Schwebezustand zwischen mathematischer Vektorzerlegung und Physik.

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