Orthogonalität linearer Abbildung aus Norm folgern |
| 25.04.2019, 22:31 | Farina1996 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Orthogonalität linearer Abbildung aus Norm folgern gegeben: f:V--->V orthogonale Abb, wenn <f(v),f(w)>=<v,w> <v,w>= 1/2( llv+wll² - llvll² - llwll² ) Satz: Sei f:V---->V eine lin. Abb. eines euklidischen VR; wenn für alle v aus V gilt: ll f(v) ll= ll v ll, dann ist f orthogonal. Mein Beweis: ll f(v) ll² = <f(v),f(v)> = 1/2( ll f(v)+f(v) ll² - ll f(v) ll² - ll f(v) ll² ). Dann habe ich ein bisschen umgeschrieben und ll f(v) ll= ll v ll benutzt. Bin dann auf =1/2( llv+vll² - llvll² - llvll² ) = <v,v> gekommen und wenn <f(v),f(v)>=<v,v> gilt, ist es ja per Def. orthogonal. Kann ich das so machen? Wäre wirklich super lieb. |
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| 26.04.2019, 10:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
So kann man das ganz und gar nicht machen: Warum gilt (am Anfang deines Beweises) ll f(v) ll² = <f(v),f(v)> ? Warum ist (am Ende deines Beweises) f orthogonal, wenn <f(v),f(v)>=<v,v> ? Die Definition muss nicht nur für v=w sondern für alle v und w gelten. Tipp: Berechne <f(v),f(w)> nach Definition des Skalarprodukts, benutze die Linearität von f, benutze die Voraussetzung, benutze die Definition des Skalarprodukts. |
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