2 in Z adjungiert Wurzel -5 nicht prim - Verständnisfrage

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
2 in Z adjungiert Wurzel -5 nicht prim - Verständnisfrage
Hallo zusammen,

wir haben in der Vorlesung folgendes bewiesen:

ist nicht prim, da:

Sei N die Normabbildung, also für

Nun gilt:
offensichtlich gilt , aber
, da
Analog für .

Ich frage mich hier, da wir die Normabbildung mittlerweile des öfteren anschauen, bzw. darüber gehen, um etwas derart zu beweisen, warum kann man sich die Teilbarkeit einfach so über die Norm anschauen und eben nicht die eigentlicheTeilbarkeit

Also ich hätte gerne einfach gewusst, wieso man sowas über die Norm zeigen kann/darf.
Meine Vermutung wäre jetzt , dass die Norm ja die Länge von Zahlen umschreibt bzw. deren Abstand zu 0 und wenn eine Zahl eine andere teilt, dann muss auch die Länge der einen Zahl die Länge der Anderen teilen.

LG

Snexx_Math
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In normierten Vektorräumen hat die Vektornorm ||.|| etwas mit der "Länge" zu tun.
https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)

Für die Normabbildung in Körpererweiterungen gilt das nicht. Man nutzt hier einfach die Multiplikativität N(ab)=N(a)N(b) der Norm.
https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(K%C3%B6rpererweiterung)

Wichtig: Norm ist nicht gleich Norm.
 
 
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt daran, dass die Norm multiplikativ ist, d.h. es gilt



Daraus folgt leicht, dass wenn ein Teiler von ist, dass ein Teiler von ist. Mach dir das klar (beweise es).

Noch zwei Anmerkungen:

1) Man kann auch zu Fuß (mit der Definition der Teilbarkeit und ohne die Norm) nachrechnen, dass z.B. kein Teiler von ist, indem man annimmt, dass es so wäre und das zum Widerspruch führt. Auch das solltest du mal machen.

2) Man geht hier davon aus, dass in eingebettet ist. Die "richtige" Definition von lautet:

.

Per Definition ist nämlich eine Nullstelle von , es gibt aber zwei Nullstellen dieses Polynoms in .
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