Ungleichung in Ungleichung einsetzen

26.04.2019, 14:03

Strohhut1

Ungleichung in Ungleichung einsetzen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich komme bei Ungleichungen immer total durcheinander und hoffe ihr könnt mir helfen.

Folgendes Lineares Programm ist gegeben:

max $\begin{eqnarray*} 2x-4y-z \end{eqnarray*}$

Nebenbedingungen:

(I) $\begin{eqnarray*} x+y-z \leq 3 \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$
(III) $\begin{eqnarray*} y \geq 1 \end{eqnarray*}$
(IV) $\begin{eqnarray*} z \leq 0 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Wie viele optimale Lösungen die folgenden linearen Programme haben. Ist die Menge der zulässigen Lösungen beschränkt?

Meine Ideen:
Ich habe bereits die Lösung, aber verstehe sie nicht. Die Lösung lautet wie folgt:
$\begin{eqnarray*} 3 \geq x+y-z \geq 3-z \geq 3 \end{eqnarray*}$
-> Nur eine zulässige und damit optimale Lösung: x* = 2, y* = 1, z* = 0

Meine Frage: Man hat ja die erste Ungleichung (I) genommen und dahinter einfach dasselbe nochmal hingeschrieben, nur dass man die Ungleichungen (II) und (III) eingesetzt hat. Wieso kann man das einfach so machen? Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt und warum das geht. Außerdem: Warum kann man überhaupt Ungleichungen in Ungleichungen einsetze, ich dachte immer das darf man nicht.

Schon einmal vielen Dank im Voraus!

Viele Grüße

26.04.2019, 16:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Strohhut1
Man hat ja die erste Ungleichung (I) genommen und dahinter einfach dasselbe nochmal hingeschrieben, nur dass man die Ungleichungen (II) und (III) eingesetzt hat.

"Einsetzen" heißt hier, dass diese Ungleichungen (II) und (III) einfach für weitere Schritte in dieser Ungleichungskette genutzt werden. Und warum nicht, das ist legitim, es geht alles streng nach den Umformungsregeln von Ungleichungen vor sich!

Zitat:

Original von Strohhut1
Ich verstehe nicht, wie man darauf kommt

Vergiss mal ganz schnell, da eine "Methode" drin zu sehen. Hier ist ein ganz extremer Sonderfall konstruiert worden, dass das zulässige Gebiet eines LOP nur aus einem einzigen Punkt besteht - sowas kommt in der Realität praktisch nie vor.

Zitat:

Original von Strohhut1
Warum kann man überhaupt Ungleichungen in Ungleichungen einsetze, ich dachte immer das darf man nicht.

Es ist kein echtes "Einsetzen", s.o.

27.04.2019, 01:46

Strohhut1

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Hallo Hal 9000,

danke für die Antwort. Okay, verstehe...

Dann hätte ich aber noch eine Frage und zwar wurde in der Lösung ja folgendes konstruiert:

$\begin{eqnarray*} 3 \geq x+y-z \geq 3-z \geq 3 \end{eqnarray*}$

Ist das letzte Ungleichungsszeichen nicht falsch? Müsste es nicht wie folgt sein:

$\begin{eqnarray*} 3 \geq x+y-z \geq 3-z\leq3 \end{eqnarray*}$

Falls ich recht habe, dann habe ich die Aufgabe verstanden :-)

Viele Grüße

EDIT(Helferlein): Unicode durch entsprechenden Latexbefehl bzw. entsprechendes Zeichen ersetzt.

27.04.2019, 01:52

Strohhut1

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Oh man sorry...

Ich hoffe man versteht was gemeint ist. Ich vermute, dass in der Lösung meines Startposts das letzte Ungleichheitszeichen in die falsche Richtung zeigt. Stimmt das?

Viele Grüße

27.04.2019, 02:23

Helferlein

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Nein, da $\begin{eqnarray*} z\leq 0 \end{eqnarray*}$ (nach IV) ist $\begin{eqnarray*} -z\geq 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} 3-z \geq 3 \end{eqnarray*}$ .

Wie oben schon gesagt wurde handelt es sich nicht um Einsetzungen, sondern Schlußfolgerungen durch Anwendung der Rechenregeln für Ungleichungen. Hier z.B. die Multiplikation mit -1, sowie die Addition von 3 auf beiden Seiten. Ersteres dreht das Ungleichungszeichen um, lezteres nicht.

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