Brownsche Bewegung

26.04.2019, 19:28	Nevax	Auf diesen Beitrag antworten »
Brownsche Bewegung Ich versuche gerade ein Beweis zu verstehen, vielleicht könnt ihr mir dabei helfen? $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ist ein Gaußprozess mit Erwartungswert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W(0)=0 \end{eqnarray}$ , außerdem gilt für alle $\begin{eqnarray} 0 \leq s \leq t \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} E\big[ \|W(t)-W(s)\|^2\big] = t - s \hspace{0.5cm} \end{eqnarray}$ (1) Jetzt soll $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ein Wiener Prozess sein. Laut meiner Definition soll also gelten: a) $\begin{eqnarray} W(0) =0 \end{eqnarray}$ , und für alle $\begin{eqnarray} t > 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} W(t) \end{eqnarray}$ normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t. b) Für alle $\begin{eqnarray} 0<s<t \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} W(t)-W(s) \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} \lbrace W(u) \rbrace_{0 \leq u\leq s} \end{eqnarray}$ . c) Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} W(t)-W(s) \end{eqnarray}$ hat die selbe Verteilung wie $\begin{eqnarray} W(t-s) \end{eqnarray}$ . Also die Brownsche Bewegung hat stationäre Zuwächse. d) Die einzelnen Pfade $\begin{eqnarray} t \mapsto W(t) \end{eqnarray}$ sind fast sicher stetig.[/latex] Also für a) ist $\begin{eqnarray} W(0) =0 \end{eqnarray}$ und Erwartungswert 0 nach Voraussetzung, normalverteilt da Gaußprozess und Varianz $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ , da mit $\begin{eqnarray} s:=0 \end{eqnarray}$ aus (1) folgt $\begin{eqnarray} Var[W(t)]=t \end{eqnarray}$ . Für c) könnte ich mit der Eindeutigkeit der Charakteristischen Funktion argumentieren. und d) wurde bereits ausführlich gezeigt. Das einzige was ich noch nicht nachvollziehen kann wäre b). Vielleicht habt ihr eine Idee. Ich habe noch zwei Informationen vergessen die bestimmt wichtig sein werden. $\begin{eqnarray} W(t)= lim_{n \rightarrow \infty} W_{2^n}(t) \end{eqnarray}$ fast sicher, und $\begin{eqnarray} W_{2^n}(t) \end{eqnarray}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} W(t) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \in [0,1] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} W_n(t):=tX_0 + \frac{\sqrt{2}}{\pi} \sum_{j=1}^{n} \frac{ \sin(j\pi t)}{j}X_j, \hspace{0.5cm} \forall 0 \leq t \leq 1, n=1,2, \dots \ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lbrace X_i \rbrace_{i=0}^{\infty} \end{eqnarray}$ unabhängig, identisch, standardnormalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungwert 0 und Varianz 1. Vielen lieben Dank Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
04.05.2019, 15:01	Nevax	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat denn niemand einen Ansatz oder Gedanke?

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