Volumenberechnung - Dreifachintegral

27.04.2019, 11:46	Gast_Name	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung - Dreifachintegral Hallo, die Aufgabe die zu lösen ist steht im Anhang. Ich habe schon so einiges probiert, um auf die Lösung zu kommen. Zunächst habe ich versucht die allgemeine Ellipsen-Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{ x^2 }{(a^2 }+\frac{ y^2 }{(b^2 }=1. \end{eqnarray}$ so zu verändern, dass sich die Ellipse mit der Höhe z streckt. Also ich hab jetzt ein wenig rumprobiert und konnte einige Gleichungen aufstellen. Zunächst ist das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nun abhängig von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} a(z) \end{eqnarray}$ . Ich habe mir $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ jetzt als das " $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ " auf der x-Achse ausgesucht. Das ändert sich linear von den Punkt $\begin{eqnarray} (0,r) \end{eqnarray}$ zum Punkt $\begin{eqnarray} (0.5 \pi r,H) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} u/4 \end{eqnarray}$ . Also eine Geradengleichung bilden. $\begin{eqnarray} z(a)=\frac{ H }{0.5\pi r-r }(a-r) \end{eqnarray}$ . Hier noch die Umkehrfunktion bilden $\begin{eqnarray} a(z)=\frac{ z(0.5\pi r-r }{H }+r \end{eqnarray}$ Das gleiche mit $\begin{eqnarray} b(z) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ von Punkt $\begin{eqnarray} (0,H) \end{eqnarray}$ zum Punkt $\begin{eqnarray} (r,0) \end{eqnarray}$ geht. Wieder Geradengleichung und Umkehrfunktion bilden. $\begin{eqnarray} z(b)=\frac{ -H }{r }b+H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b(z)=\frac{ (z-H) r}{-H } \end{eqnarray}$ Nun in die allgemeine Gleichung einer Ellipse einfügen und man erhält $\begin{eqnarray} \frac{ x^2 }{(a(z))^2 }+\frac{ y^2 }{(b(z))^2 }=1. \end{eqnarray}$ Wenn man das in ein Grafikprogramm wie Geogebra eingibt und statt der Achse $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ erstmal einen Schieberegler d verwendet, dann sieht man sehr gut wie sich die Ellipse, wie gewollt nach oben zu einer Geraden bis zur Höhe $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ verjüngt. Aber eine Integration von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ funktioniert laut Online-Rechner nicht. Sowieso weiß ich jetzt an diesem Punkt nicht wie ich integrieren muss. Man müsste doch vorher erst einmal über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und /latex]y[/latex] noch integrieren oder nicht? Kann mir da jemand helfen? Viele Grüße
27.04.2019, 12:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Ansicht nach hast du bisher bis auf ein paar kleinere Schreibfehler alles richtig gemacht. Die Ellipsengleichung brauchst du nicht, nur den Flächeninhalt der Ellipse in der Höhe $\begin{align} z \end{align}$ , und der ist $\begin{align} A(z) = \pi \cdot a(z) \cdot b(z) \end{align}$ Das gesuchte Volumen ist $\begin{align} V_{\text{Tube}} = \int_0^H A(z) ~ \dd z \end{align}$
27.04.2019, 12:37	Gast_Name	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohja die Schreibfehler passieren halt beim Formatieren mit Latex. Aber danke auf die Vereinfachung habe ich gehofft. Dankeschön

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