Prüfung einer Funktion auf Stetigkeit, partieller Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit

27.04.2019, 12:19	gabba112	Auf diesen Beitrag antworten »
Prüfung einer Funktion auf Stetigkeit, partieller Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit Einen schönen guten Tag, mir liegt die Folgende Aufgabe vor und ich benötige ein Paar Antworten, auf die ein oder andere Frage. Aufgabe $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{x^{2}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} & {\text { für }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {\text { für }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ a) Ist f Stetig? b) Ist f partiell differenzierbar nach x bzw. y? c) Bestimmen Sie wo f auch differenzierbar ist und geben Sie fur diese Punkte die Ablei- ¨ tung an. Meine Lösung: a) f ist nicht stetig, denn es existiert eine Folge $\begin{eqnarray} \vec{x}_k = (\frac{1}{n},0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{n},0) = \frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}0}{\frac{1}{n^2}+0} = 1 \neq 0 \end{eqnarray}$ b) f ist nicht partiell Differenzierbar, denn für die erste Komponente gilt $\begin{eqnarray} f(0,0) =lim_(v->0)=\frac{f(v,,0)-f(0,0)}{v} = lim_(v->0) \frac{1}{v} = \infty \neq 0 \end{eqnarray}$ . c) f ist auf R\(0,0) als Zusammensetzung differenzierbarer Funktionen differenzierbar, aber im Punkt (0,0) liegt wegen der Unstetigkeit keine Differenzierbarkeit vor. Nun die Fragen: 1) Stimmt mein geistiger Erguss soweit? 2) Wie kann man bei c nun die Ableitung an den Stellen bilden, wo f differenzierbar ist? so hier vlt?: $\begin{eqnarray} f' : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto \left\{\begin{array}{cc}{\frac{ y^2(x^2+2x-y^2 }{(x^{2}+y^{2})^2}} & { \frac{ 2x^2(x+1)y }{(x^{2}+y^{2})^2} <br /> } & {\text { für }(x, y) \neq(0,0)} \\ {0} & {} & {\text { für }(x, y)=(0,0)}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Vielen Dank schon mal im Voraus
27.04.2019, 12:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
a) stimmt. b) stimmt teilweise, denn im Nullpunkt ist $\begin{align} f \end{align}$ nach $\begin{align} y \end{align}$ differenzierbar. Daß $\begin{align} f \end{align}$ dort nicht nach $\begin{align} x \end{align}$ differenzierbar ist, stimmt auch, aber was du dazu aufgeschrieben hast, ist ziemlich wirr. Vielleicht sind es ja nur Probleme mit Latex. Zu untersuchen ist $\begin{align} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{align}$ für $\begin{align} h \to 0 \end{align}$ Du willst ja darauf hinaus, daß der Limes nicht existiert. Daher darfst du dabei $\begin{align} h>0 \end{align}$ spezialisieren. c) stimmt. Die Berechnung von $\begin{align} f' \end{align}$ stimmt fast. Da $\begin{align} f \end{align}$ im Nullpunkt nicht differenzierbar ist, kannst du dort auch keine Ableitung angeben. Und ansonsten ist $\begin{align} f' \end{align}$ ein Vektor mit zwei Koordinaten, der Gradient. Ob ihr dafür die Zeilen- oder Spaltenschreibweise wählt, hängt von der Vorlesung ab.
27.04.2019, 13:26	gabba112	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold. Zu b. Meine Intention war es zu zeigen, dass wenn ich nach x differenzieren möchte der Grenzwert für $\begin{eqnarray} h\to 0 \end{eqnarray}$ nicht existiert. Deshalb habe ich (h,0) in die Abbildungsvorschrift eingesetzt und bin damit auf $\begin{eqnarray} lim_(h->0)=\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = lim_(h->0) \frac{1}{h} = \infty \end{eqnarray}$ gekommen. Soweit ich weiß, liegt dann egal was für die Ableitung bzgl y rauskommt, f nicht diffbar? Edit, ich sehe gerade, dass ich die Aufgabenstellung nicht richtig gelesen habe ) Die Frage wäre dennoch noch offen. Zu c) Du meinst es so richtig? $\begin{eqnarray} <br /> f' : \mathbb{R}^{2} \setminus \{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \to (\frac{ y^2(x^2+2x-y^2) }{(x^{2}+y^{2})^2} , \frac{ 2x^2(x+1)y }{(x^{2}+y^{2})^2}) \end{eqnarray*}$
27.04.2019, 13:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Schreibweise in b) ist richtiggehend falsch. Ein Limes braucht einen Operanden, von dem er, sofern existent, bestimmt werden kann. Nach dem Limeszeichen sofort mit einem Gleichheitszeichen zu kommen, ist unsinnig. Deine Idee ist ja durchaus brauchbar. Du kannst einfach $\begin{align} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ h \to 0 \ \text{mit} \ h>0 \end{align}$ schreiben. Oder mit Limeszeichen: $\begin{align} \lim_{h \downarrow 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \infty \end{align}$ Beachte, daß du hierfür $\begin{align} h>0 \end{align}$ voraussetzen mußt (in der zweiten Schreibweise durch den Abwärtspfeil gekennzeichnet). Du kannst das nicht einfach unterschlagen. Welche Frage wäre jetzt noch offen? Die Berechnung in c) stimmt jetzt.
27.04.2019, 13:54	gabba112	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "=" hat sich nur eingeschlichen beim kopieren der Formeln, wollte nicht alles 3x schreiben. Die Frage die offen steht, ist wenn f für x nicht partiell diffbar ist, aber für y, ob dann f generell partiell diffbar sein kann?
27.04.2019, 13:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Differenzierbarkeit bezieht sich meines Wissens auf eine konkrete Variable. Ob man auch sagt, daß "f partiell differenzierbar ist", wenn f nach allen Variablen partiell differenzierbar ist, weiß ich nicht. Kann sein.
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27.04.2019, 14:06	gabba112	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann werde ich am Montag mal den Prof fragen, schreibe die Antwort dann hier drunter. Ich danke dir jedenfalls für die Hilfe und wünsche ein schönes Wochenende.

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