Wendepunkte algebraischer Kurven

27.04.2019, 14:36

.Tina.

Wendepunkte algebraischer Kurven

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte zu einer algebraischen Kurve C, die durch das Polynom Q beschrieben ist die Wendepunkte bestimmen.

Q= x^3+y^3+z^3
Die Determinante der Hessematrix ist: 6x*6y*6z
In meinem Buch steht, dass die Hesse-Kurve in drei Geraden zerfällt, kann mir jemand erklären wieso?
Wie kann ich mit diesem Wissen jetzt die Wendepunkte bestimmen?

Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann

LG Tina

Meine Ideen:
-

27.04.2019, 17:05

Leopold

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Da ich mich in algebraischer Geometrie nicht sonderlich auskenne, werde ich dir inhaltlich auch nicht viel helfen können. Über eine Sache aber bin ich gestolpert: Du gibst ein Polynom $\begin{align*} Q = x^3 + y^3 + z^3 \end{align*}$ an. Wo ist da eine Kurve? Selbst $\begin{align*} Q = 0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} Q = a \end{align*}$ (konstant) wären ja keine Kurven, sondern Flächen. In welchem Zusammenhang steht die von dir angesprochene Kurve mit $\begin{align*} Q \end{align*}$ ?

27.04.2019, 17:39

.Tina.

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Die Kurve heißt C und wird durch C=V(Q) definiert.

27.04.2019, 20:02

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Leopold
Wo ist da eine Kurve?

Es liegt eine Kurve in $\begin{eqnarray*} k\mathbb P^2 \end{eqnarray*}$ vor.

@.Tina.: Du hast nichts über den Grundkörper $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ geschrieben. Ich nehme an, dass entweder $\begin{eqnarray*} \mathrm{char}(k) = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathrm{char}(k) > 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Die Wendepunkte von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ erhält man dann als die regulären Schnittpunkte von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit der Hesse-Kurve $\begin{eqnarray*} H_C \end{eqnarray*}$ .

28.04.2019, 09:39

.Tina.

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Okay, danke schonmal.

Wie genau bestimme ich die Hesse-Kurve? Ich habe gelesen, dass sie durch das Polynom der Determinante der Hessematrix definiert ist.
Wäre die Hessekurve in meinem Beispiel dann:
Hc= 6x*6y*6z ?

Um die Schnittpunkte von C und Hc zu berechnen, muss ich diese doch gleichsetzen oder?
Aber wie löse ich dann?
x^3+y^3+z^3=6x*6y*6z richtig auf, sodass ich die Wendepunkte erhalte?

28.04.2019, 21:02

zweiundvierzig

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Der Ansatz ist: $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{split} x^3+y^3+z^3 = 0 \\ 36xyz = 0 \end{split}\right. \end{eqnarray*}$
Dann bieten sich Fallunterscheidungen für $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ an.

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