Höhe Rotationskörper

27.04.2019, 19:05

Zytox

Höhe Rotationskörper

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Berechne wie hoch die im Bild zu sehende Vase(Rotationskörper) sein muss. Der Boden hat einen Radius von 1,5 Längeneinheiten und der Anstiegswinkel beträgt 22,5°. Zudem hat die Vase (49*pi)/6 Volumeneinheiten. (Verwende Polynomdivision)
Bild ist im Anhang.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Die Form der Vase zeigt dass es ein Kegel sein muss. Somit muss die Funktion eine Gerade sein: $\begin{eqnarray*} f(x) = m*x + b \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ beträgt 1,5. $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi }{8}) \end{eqnarray*}$ .
Die Grenzen werden [0;h] sein.

Somit sieht das Integral wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_{0}^{h} \! [f(x)]^{2} \, dx \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} V = \frac{49\pi }{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan(\frac{\pi }{8}) = \sqrt{2} -1 V = \pi \int_{0}^{h} \! [(\sqrt{2} -1)x+1,5]^{2} \, dx = \pi \int_{0}^{h} \! [(\sqrt{2} -1)^{2}x^{2}+2*(\sqrt{2} -1)x*1,5+1,5^{2}] \, dx = \pi \int_{0}^{h} \! [(3-2\sqrt{2})x^{2}+2*(3\sqrt{2} -3)x+\frac{9}{4} ] \, dx =\pi \left[\frac{3-2\sqrt{2} }{3}x^{3} + \frac{3\sqrt{2}-3 }{2} *x^{2}+\frac{9}{4}*x \right]_{h}^{0} =\pi [\frac{3-2\sqrt{2} }{3}h^{3} + \frac{3\sqrt{2}-3 }{2} *h^{2}+\frac{9}{4}*h ] \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich dort eine Nullstelle für die Polynomdivison raten?
Oder habe ich mich dort irgendwo verrechnet?

27.04.2019, 19:43

Leopold

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Warum multiplizierst du den Integranden aus? Zu

$\begin{align*} g(x) = \left( \left( \sqrt{2} - 1 \right) x + 1{,}5 \right)^2 \end{align*}$

kannst du mittels linearer Substitution direkt eine Stammfunktion angeben:

$\begin{align*} G(x) = \frac{1}{3 \left( \sqrt{2} - 1 \right)} \cdot \left( \left( \sqrt{2} - 1 \right) x + 1{,}5 \right)^3 = \frac{\sqrt{2} + 1}{3} \cdot \left( \left( \sqrt{2} - 1 \right) x + 1{,}5 \right)^3 \end{align*}$

Zur Berechnung des Integrals mit dieser Stammfunktion arbeiten und dabei keineswegs ausmultiplizieren.

27.04.2019, 20:40

Zytoxx

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Ich hatte das ausmultipliziert, weil ich Polynomdivision anwenden soll.
Das kann ich bei deiner Stammfunktion doch gar nicht oder?
Als Ergebnis würde ich bei deiner Stammfunktion auf $\begin{eqnarray*} h = 4,295 \end{eqnarray*}$ kommen.
Allerdings habe ich es dann einfach ganz normal aufgelöst mit Hilfe desTaschenrechners, den wir für die Lösung eigentlich auch nicht brauchen.
Die Probe sagt das ist das richtige Ergebnis aber kennst du eine Möglichkeit wie das auch mit Polynomdivision ginge?

28.04.2019, 10:52

Leopold

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Ich komme auf $\begin{align*} h = 2{,}8259 \ldots \end{align*}$ verwirrt

Die ganze Aufgabe ist merkwürdig. Einerseits wird ein exaktes Volumenergebnis vorgegeben, andererseits wird mit Dezimalbrüchen gerechnet. Auch ergibt sich kein "schönes" Ergebnis. Was soll also die Angabe $\begin{align*} \frac{49}{6} \pi \end{align*}$ ?
Bitte überprüfe, ob die Angaben stimmen. Sinnvoll wäre es auch, den Originaltext der Aufgabe mitzuteilen.

28.04.2019, 13:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leopold
Ich komme auf $\begin{align*} h = 2{,}8259 \ldots \end{align*}$ verwirrt

Und ich komme auf h = ca. 2,13 , was die Sache aber auch nicht besser macht.

28.04.2019, 14:23

Leopold

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Dann nehmen wir doch das arithmetische Mittel: $\begin{align*} h = \frac{1}{3} \left( 4{,}295 + 2{,}826 + 2{,}13 \right) \end{align*}$

28.04.2019, 15:36

Huggy

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Ich bin dumm, mein Herz ist rein, Mathematica soll die Wahrheit sein.

[attach]49172[/attach]

Oder doch nicht? Schließlich gilt für den Umgang mit Computern und Programmen das GiGo-Prinzip!

28.04.2019, 16:00

Leopold

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Nachdem ich $\begin{align*} h \end{align*}$ erneut von meinem CAS habe ausrechnen lassen, habe ich jetzt

$\begin{align*} h = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + 1 \right) \cdot \left( \left( 196 \sqrt{2} - 169 \right)^{\frac{1}{3}} - 3 \right) \end{align*}$

und bestätige das Ergebnis von klarsoweit und Huggy. Keine Ahnung, was da zuvor passiert war.

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