Integral Exponentialfunktion

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28.04.2019, 12:34	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Exponentialfunktion Hallo, ich soll folgendes Integral lösen: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{b}{x}}} {x} \, dx \end{eqnarray}$ Im Internet bin ich dann auf die Integralexponentialfunktion gestoßen. Allerdings haben wir diese nicht eingeführt. Wie kann ich dieses Integral dann lösen? Ich schätz mal mit Substitution. Kann mir bitte wer weiterhelfen? Viele Grüße yeees
28.04.2019, 12:42	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Exponentialfunktion https://www.integralrechner.de/
28.04.2019, 12:54	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Rechner verwendet eben die Integralexponentialfunktion.
28.04.2019, 14:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es zu der Aufgabe noch einen übergeordneten Kontext, den wir wissen müßten, oder ist das die komplette Aufgabe?
28.04.2019, 14:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Führe im Integral $\begin{align} \int_a^b \frac{\operatorname{e}^{\frac{x}{a}}}{x} ~ \dd x \end{align}$ die Substitution $\begin{align} x = \frac{ab}{t} \end{align}$ durch. Was fällt dir auf? Was ist übrigens über $\begin{align} a,b \end{align}$ vorausgesetzt? Vermutlich, daß sie gleiches Vorzeichen besitzen: $\begin{align} ab>0 \end{align}$ ?
28.04.2019, 19:34	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist angegeben, dass a, b > 0 Ich habe diese Substitution durchgeführt, sehe allerdings den Sinn dahinter nicht $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{x}{a}} - e^{\frac{b}{x}}} {x} \, dx \\ = \int_{a}^{b} \! \frac{te^{\frac{b}{t}} }{ab} \, \cdot \left(- \frac{dt x^2}{ab}\right) - \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{b}{x} }}{x} \, dx \\ = - \int_{a}^{b} \! \frac{te^{\frac{b}{t}} a^2b^2 }{a^2b^2t^2} \, dt - \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{b}{x} }}{x} \, dx \\ = - \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{b}{t}} }{t} \, dt - \int_{a}^{b} \! \frac{e^{\frac{b}{x} }}{x} \, dx \end{eqnarray}$
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28.04.2019, 19:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie machst du das so kompliziert wie irgend möglich. Mit $\begin{align} x = \frac{ab}{t} \end{align}$ gilt: $\begin{align} \frac{\operatorname{e}^{\frac{x}{a}}}{x} ~ \dd x = \frac{\operatorname{e}^{\frac{b}{t}}}{\frac{ab}{t}} \cdot \left( - \frac{ab}{t^2} \right) ~ \dd t = - \frac{\operatorname{e}^{\frac{b}{t}}}{t} ~ \dd t \end{align}$ Und dann sind auch noch die Integrationsgrenzen der Substitution anzupassen.
29.04.2019, 22:14	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich ja in der letzten Zeile auch stehen, nur verstehe ich nicht was mir das bringt. Ich kann das ja wieder nicht integrieren
29.04.2019, 22:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \int_a^b \frac{\operatorname{e}^{\frac{x}{a}}}{x} ~ \dd x \ = \ \int_b^a - \ \frac{\operatorname{e}^{\frac{b}{t}}}{t} ~ \dd t \ = \ \int_a^b \frac{\operatorname{e}^{\frac{b}{t}}}{t} ~ \dd t \end{align}$ EDIT Oder gleich allgemeiner für eine in $\begin{align} x>0 \end{align}$ stetige Funktion $\begin{align} f \end{align}$ und $\begin{align} a,b>0 \end{align}$ : $\begin{align} \int_a^b \frac{1}{x} \cdot f \left( \frac{x}{a} \right) ~ \dd x \ = \ \int_b^a \frac{t}{ab} \cdot f \left( \frac{b}{t} \right) \cdot \left( - \frac{ab}{t^2} \right) ~ \dd t \ = \ \int_a^b \frac{1}{t} \cdot f \left( \frac{b}{t} \right) ~ \dd t \end{align}$ Es folgt: $\begin{align} \int_a^b \frac{f \left( \frac{x}{a} \right) - f \left( \frac{b}{x} \right)}{x} ~ \dd x \ = \ 0 \end{align}$ Beispiele: $\begin{align} \int_1^{10} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{\frac{10}{x}}}{x} ~ \dd x \ = \ 0 \end{align}$ $\begin{align} \int_3^{22} \frac{\sin \left( \frac{x}{3} \right) - \sin \left( \frac{22}{x} \right)}{x} ~ \dd x \ = \ 0 \end{align}$

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