Kugeln in Urne

28.04.2019, 19:32

Moe97655

Kugeln in Urne

Meine Frage:
In einerin einer Urne liegen 4 schwarze u w weisse Kugeln. betrachten sie die verteilung der zufallsgrösse x:anzahl der weissen kugeln beim 3 maligen ziehen mit zurücklegen. Bestimmen sie eine Anzahl w so dass man ohne konkrete berechnung der wahrscheinlichkeit sagen kann, das die wahrscheinlichkeit für das ereignis x=2 maximal ist??

Meine Ideen:
Ich weiss nicht wie ich hier weiterkomme..

29.04.2019, 09:08

klauss

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RE: Kugeln in Urne
Um mal etwas wortklauberisch zu sein: Nicht weiterkommen kann man eigentlich erst, wenn man schon angefangen hat, aber dann an einem Punkt steckengeblieben ist. Mir scheint hingegen, Du hast noch gar nicht angefangen.
Was man auf jeden Fall machen könnte, ist, die Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für die Anzahl der weißen Kugeln bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen aufzustellen. Inbesondere kann man sich dann den Eintrag für $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ genauer ansehen, der ja zwangsläufig von w abhängen muß.
Man könnte für diesen funktionalen Zusammenhang eine Extremwertberechnung durchführen, z. B. mittels Differentialrechnung.
Um einen Eindruck von der Größenordnung des zu erwartenden Ergebnisses zu erhalten, kann man auch ausrechnen, für welches w der Erwartungswert des Zufallsexperiments gerade 2 beträgt.
Vielleicht hat jemand noch bessere Ideen, aber ich finde, zum Anfangen ist das schon mal besser als nichts.

29.04.2019, 11:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Um einen Eindruck von der Größenordnung des zu erwartenden Ergebnisses zu erhalten, kann man auch ausrechnen, für welches w der Erwartungswert des Zufallsexperiments gerade 2 beträgt.

In der Tat, womöglich hat dies den Aufgabesteller zu dieser seltsamen Einschränkung

Zitat:

Original von Moe97655
Bestimmen sie eine Anzahl w so dass man ohne konkrete berechnung der wahrscheinlichkeit sagen kann, das die wahrscheinlichkeit für das ereignis x=2 maximal ist??

bewogen, so nach dem Motto "Weil bei der Binomialverteilung Erwartungswert (sofern er ganzzahlig ist) und Modalwert übereinstimmen, kann man deswegen hier einfach $\begin{eqnarray*} 3\frac{w}{4+w}=2 \end{eqnarray*}$ rechnen", aufgelöst $\begin{eqnarray*} w=8 \end{eqnarray*}$ .

Ich sehe das als eine "Begründung", die auf mehr als wackligen Füßen steht. Eine seriöse Rechnung über die Extremwertberechnung von $\begin{eqnarray*} P(X=2) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ (d.h. genau wie von klauss vorgeschlagen) kann das m.E. nicht ersetzen:

Schließlich ist $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ nicht nur für $\begin{eqnarray*} w=8 \end{eqnarray*}$ , sondern für alle $\begin{eqnarray*} w\in\{5,\ldots,11\} \end{eqnarray*}$ einziger Modalwert dieser Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B\left(3,\frac{w}{4+w}\right) \end{eqnarray*}$ , d.h. wieso soll da tatsächlich für $\begin{eqnarray*} w=8 \end{eqnarray*}$ das Maximum erzielt werden? verwirrt

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