Unbestimmtes Integral mit quadratischer Ergänzung

28.04.2019, 22:30	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integral mit quadratischer Ergänzung Meine Frage: Zeigen sie, dass für $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Delta:=4b-a^2>0 \end{eqnarray}$ Folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{1}{x^2+ax+b} \, dx = \frac{2\pi }{\sqrt{\Delta} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin über quadratische Ergänzung vorgegangen: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{1}{x^2+ax+b} \, dx = \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{1}{x^2+ax+(\frac{a}{2} )^{2} -(\frac{a}{2} )^{2} +b} \, dx = \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{1}{(x+\frac{a}{2} )^{2} -(\frac{a}{2} )^{2} +b} \, dx \end{eqnarray}$ Anschließend habe ich Substituiert: $\begin{eqnarray} s=x+\frac{a}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{1}{s^{2}-(\frac{a}{2})^{2}+b } \, dx \end{eqnarray}$ An dieser Stelle komme ich nun leider nicht mehr weiter... Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
28.04.2019, 22:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Nenner hast du zuletzt $\begin{align} \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2 + b = \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{\Delta}{4} = \frac{\Delta}{4} \cdot \left( \ \ldots + \ldots \ \right) \end{align}$ Jetzt klammere $\begin{align} \frac{\Delta}{4} \end{align}$ aus und substituiere $\begin{align} \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \left( x + \frac{a}{2} \right) = s \end{align}$
01.05.2019, 00:42	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Rücksubstitution Nach Substitution erhalte ich dann ja $\begin{eqnarray} \int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{4}{\Delta}\frac{1}{(s^{2}+1) } \, ds \end{eqnarray}$ Nun weiß ich, dass die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{s^{2}+1 } \end{eqnarray}$ arctan(s) ist. Anschließend folgt Rücksubstitution. Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \lim_{R \to \infty } arctan(R) = \frac{\pi }{2} \end{eqnarray}$ . Allerdings hänge ich nun fest. Ich dachte ich hätte die Lösung, doch irgendwie habe ich immer den Faktor $\begin{eqnarray} \frac{4}{\Delta} \end{eqnarray}$
01.05.2019, 09:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \frac{\dd x}{x^2 + ax + b} = \ldots = \frac{\dd x}{\frac{\Delta}{4} \cdot \left( \frac{4}{\Delta} \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 + 1 \right)} \end{align}$ Mit $\begin{align} \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \left( x + \frac{a}{2} \right) = s \, , \ \ \dd x = \frac{\sqrt{\Delta}}{2} \dd s \end{align}$ wird daraus: $\begin{align} \frac{\dd x}{x^2 + ax + b} = \frac{\frac{\sqrt{\Delta}}{2}}{\frac{\Delta}{4}} \cdot \frac{\dd s}{s^2 + 1} = \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \cdot \frac{\dd s}{s^2 + 1} \end{align}$ Die Grenzen substituieren sich zu $\begin{align} s=-\infty \end{align}$ für $\begin{align} x=-\infty \end{align}$ und $\begin{align} s=\infty \end{align}$ für $\begin{align} x=\infty \end{align}$ : $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\dd x}{x^2 + ax + b} = \frac{2}{\sqrt{\Delta}} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\dd s}{s^2 + 1} \end{align}$

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