Logarithmus im Quadrat

29.04.2019, 00:39

Tueftli

Logarithmus im Quadrat

Hallo zusammen!

Meine Uni-Formelsammlungen schweigen sich mal wieder aus und im Internet gehen die Meinungen auseinander...

Das Problem sieht simpel aus, aber ich finde keine Konvention wie das zu deuten bzw. zu berechnen ist:

$\begin{eqnarray*} \ln^{2}(x) \end{eqnarray*}$

Variante 1: $\begin{eqnarray*} \ln^{2}(x) = (\ln(x))^{2} = \ln(x) \cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$

Variante 2: $\begin{eqnarray*} \ln^{2}(x) = \ln(\ln(x)) \end{eqnarray*}$

Natürlich kommen hier völlig unterschiedliche Ergebnisse raus. Wäre es eine trigonometrische Funktion, dann wäre mir die Sache klar. Andererseits sprechen meine Ergebnisse eher für Variante 2. Sicher kann ich mir jedoch dabei nicht sein!

Ich bräuchte eine zuverlässige Angabe, was denn nun stimmt! Bitte keine Meinung oder Deutung!
Am besten wäre natürlich die Angabe aus einer offiziellen Formelsammlung...

Danke schon mal!
Tueftli...

29.04.2019, 00:58

mYthos

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Eindeutig Variante 1, wie bei einer trigonometrischen Funktion. Es ist ein Quadrat, wie es auch schon der Titel sagt.
Alles andere, also auch Variante 2, ist unzutreffend.

Wenn 2-mal hintereinander logarithmiert wird, ist es eine Zusammensetzung zweier Funktionen (Hintereinanderausführen), kein Quadrat.
Allgemein wird Hintereinanderausführen in der Form f(g(x)) geschrieben, hier also $\begin{eqnarray*} \ln(\ln(x)) \end{eqnarray*}$ , nichts anderes. Das wäre z. B. auch beim sinus denkbar: $\begin{eqnarray*} \sin(\sin(x)) \end{eqnarray*}$ , warum nicht.
Das hat jedoch NICHTS mit dem Quadrat zu tun, wie es in der Variante 1 (sh. u.) gemeint ist:

Also nochmals: $\begin{eqnarray*} \sin^2 x = \sin(x) \cdot \sin (x) \end{eqnarray*}$ und ebenso $\begin{eqnarray*} \ln^2 x = \ln(x) \cdot \ln(x) \end{eqnarray*}$ , es ist einfach das Quadrat der Funktion.

mY+

29.04.2019, 06:28

Tueftli

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Tja wie gesagt, meine Ergebnisse deuten eher auf die Variante 2 hin, denn mit Variante 1 erhalte ich bei meiner eigentlichen Problemstellung (die hier aber nicht erklärt werden soll) unrealistisch hohe Werte, z.B. über 1 * 10^50...

Die Schreibweise mit der Sinusfunktion ist mir bekannt, denn so hatte ich natürlich selbst die Formel nach Variante 1 gedeutet...

Nachdem der Logarithmus allerdings etwas speziell ist, was Potenzen angeht, macht das die Sache natürlich nicht richtiger, sollte Variante 2 zutreffen.

Ich habe nun schon mehrere Formelsammlungen in höherer Mathematik gewälzt, um mir Sicherheit zu verschaffen, aber der Ansatz weder in der einen noch der anderen Variante zu finden. Auch Vergleichsaufgaben habe ich leider keine...

29.04.2019, 06:50

Leopold

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Ich kann mYthos nicht zustimmen. In der Tat gibt es beide von dir genannten Varianten, die natürlich Unterschiedliches bedeuten. Was gemeint ist, wird vielleicht ein paar Seiten vor der Stelle, wo dir dieser Term begegnet ist, erklärt. Einfach mal den Kontext studieren.

29.04.2019, 12:22

Tueftli

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Also, ich hab jetzt mal ein wenig rumexperimentiert, um die Sache besser zu durchdenken.

Evtl. hilft es hier weiter. Folgende Tatsache ist rechnerisch richtig:

$\begin{eqnarray*} \ln(\ln(e^{e}))=1 \end{eqnarray*}$

Aber ob das auf die obige Schreibkonvention zutrifft...? verwirrt

29.04.2019, 12:36

Tueftli

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Demnach müsste nämlich auch gelten:

$\begin{eqnarray*} \ln^{2}(e^{e}) = 1 \end{eqnarray*}$

29.04.2019, 13:21

mYthos

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Zitat:

Original von Tueftli

$\begin{eqnarray*} \ln(\ln(e^{e}))=1 \end{eqnarray*}$
...

Das ist sowohl von der Schreibweise, als auch vom Ergebnis her zutreffend.

Zitat:

Original von Tueftli
Demnach müsste nämlich auch gelten:

$\begin{eqnarray*} \ln^{2}(e^{e}) = 1 \end{eqnarray*}$

Eben nicht.

$\begin{eqnarray*} \ln^{2}(e^{e}) = (\ln e^e)^2 = e^2 \end{eqnarray*}$

mY+

29.04.2019, 13:47

klauss

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Ich würde mYthos ebenfalls eindeutig zustimmen. Variante 2 ist mir noch nie in einem Zusammenhang begegnet.
Zugleich will ich aber Leopold auch nicht widersprechen, denn es mag sein, dass Variante 2 mangels strenger Festlegung auch irgendwo schon vorgekommen ist. Nur bin ich der Ansicht, dass dies - noch mehr als andere Uneinheitlichkeiten - einem Notationschaos Tür und Tor öffnen würde, zumal laut Tueftli die gleiche Schreibweise bei trigonometrischen Funktionen keinen Zweifel aufkommen ließe.
Man kann sich hier ruhig auch mal trauen, gegenüber seinem Prof. einen dezidierten Standpunkt zu beziehen ...

29.04.2019, 14:03

klarsoweit

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Das liegt eben an der Interpretation des "hoch 2" als nachgelagerte Quadratur und nicht als 2-fache Hintereinander-Ausführung des ln.

Bei linearen Abbildungen ist die Schreibweise durchaus gebräuchlich für mehrfache Hintereinander-Ausführung:

$\begin{eqnarray*} x \rightarrow A \cdot x \end{eqnarray*}$ , und für n >= 2: $\begin{eqnarray*} A^1(x) := A \cdot x, ~~~ A^n(x) := A(A^{n-1}(x)) \end{eqnarray*}$

Aber da hat man auch kein Problem, daß die hochgestellte Ziffer als Exponent verstanden werden könnte.

29.04.2019, 15:36

Tueftli

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Zitat:

Original von mYthos

Eben nicht.

$\begin{eqnarray*} \ln^{2}(e^{e}) = (\ln e^e)^2 = e^2 \end{eqnarray*}$

Ja, aber eben nur, wenn die erste Variante zutrifft. Das ist hier die große Frage.

Ich hab mal heute zwei meiner Kollegen behelligt, die Mathe studiert haben und die waren auch unschlüssig. Unabhängig voneinander hat der eine die erste Variante bevorzugt, der andere die zweite...

LOL Hammer

Hat irgendjemand evtl. einen Literaturhinweis, wo so etwas behandelt wird?

29.04.2019, 16:36

HAL 9000

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Es ist ein ewiges Streitthema:

1) Bei $\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ stimmen wohl über 90% für die Variante $\begin{eqnarray*} (\sin(x))^2 \end{eqnarray*}$ .

2) Aber bei $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ sind wohl ebenfalls über 90% der Meinung, dass damit die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Beides mal zusammen betrachtet kann man eine gewisse Inkonsequenz erkennen: Warum ist nicht $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(x) = \frac{1}{\sin(x)} \end{eqnarray*}$ gemeint, wie es bei konsequenter Analogie zu 1) ja logisch wäre?

Den einzigen Tipp, den ich geben kann ist, sowas wie $\begin{eqnarray*} \ln^2(x) \end{eqnarray*}$ tunlichst nicht zu verwenden, sondern $\begin{eqnarray*} (\ln(x))^2 \end{eqnarray*}$ . Auch $\begin{eqnarray*} \ln(x)^2 \end{eqnarray*}$ sollte man unterlassen wegen Verwechslungsgefahr zu $\begin{eqnarray*} \ln(x^2) \end{eqnarray*}$ . Und liest man das woanders, so sollte man aus dem Kontext erschließen können, was gemeint ist - wie Leopold es oben schon sagte.

29.04.2019, 18:03

Tueftli

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Zitat:

Original von HAL 9000
Und liest man das woanders, so sollte man aus dem Kontext erschließen können, was gemeint ist - wie Leopold es oben schon sagte.

Schön wärs, wenn sich ausgewiesene Wissenschaftler mal daran halten würden! Aus dem Kontext ist es leider nicht ersichtlich!

traurig

Gibt es vielleicht landesspezifische Unterschiede? Der Knilch ist ein Tscheche...

29.04.2019, 21:26

Leopold

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Es ist halt die Frage, was man unter "Multiplikation" versteht.

1. Ist damit die punktweise Multiplikation von Funktionen gemeint, wie sie durch die Multiplikation reeller Zahlen induziert wird, dann gilt natürlich

$\begin{align*} \ln^2(x) = \ln(x) \cdot \ln(x) \, , \ \ \ln^3(x) = \ln(x) \cdot \ln(x) \cdot \ln(x) \, , \ \ \ln^{-1}(x) = \frac{1}{\ln(x)} \end{align*}$

2. Versteht man darunter jedoch das Verketten von Funktionen, dann bedeutet

$\begin{align*} \ln^2(x) = \ln \left( \ln(x) \right) \, , \ \ \ln^3(x) = \ln \left( \ln \left( \ln(x) \right) \right) \, , \ \ \ln^{-1}(x) = \exp(x) \end{align*}$

Beides hat im passenden Kontext seinen Sinn.

Anderswo stört man sich auch nicht an Mehrdeutigkeiten:

1. Das Boot muß sich in Richtung $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ bewegen, wenn es eine Kollision vermeiden will.

2. Es sind $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ Auswahlen möglich.

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