f(x)=sin(x) + cos (x)

06.03.2007, 18:40

Celestis

f(x)=sin(x) + cos (x)

Hallo Leute

Habe ein großes Verständnissproblem:

Ich weiß das ich bei $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)+cos(x) \end{eqnarray*}$ cosinus ersetzen kann durch $\begin{eqnarray*} cos(x)=sin\frac{x+\pi }{2} \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x)+sin\frac{x+\pi }{2} \end{eqnarray*}$ Nun kann ich ja den Additionstheorem 2. Art verwenden. Der lautet

$\begin{eqnarray*} sin\alpha +sinß= 2*sin\frac{\alpha+ß }{2}* cos\frac{\alpha-ß}{2} \end{eqnarray*}$

Schön und gut: Damit komme ich auf

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 * sin \frac{x+x+\pi/2}{2}* cos \frac{x-(x+\pi/2}{2}) \end{eqnarray*}$

Soweit ist es auch richtig aber nun muss ich von dieser Funktion zu DIESER hier kommen und ich habe echt keine Ahnung WIE

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2} * sin\frac{x+\pi }{4} \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 19:20

Calvin

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RE: f(x)=sin(x) + cos (x)

Zitat:

Original von Celestis
cosinus ersetzen kann durch $\begin{eqnarray*} cos(x)=sin\frac{x+\pi }{2} \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht. Wenn du $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ einsetzt, steht da $\begin{eqnarray*} \cos{\pi}=\sin{\frac{\pi+\pi}{2}}=\sin{\pi} \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} -1=\cos{\pi}\neq\sin{\pi}=0 \end{eqnarray*}$

Richtig ist $\begin{eqnarray*} \cos{x}=\sin{\left(x+\frac{\pi}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 19:44

Celestis

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Ok du hast recht entschuldige

$\begin{eqnarray*} f(x)=2*sin\frac{x+(x+\frac{\pi}{2}) }{2} * cos\frac{x-(x+\frac{\pi}{2}) }{2} \end{eqnarray*}$

ok das ist meine Ausgangsfunktion und die ist auch richtig so und nun habe ich folgende Notizen gemacht

- $\begin{eqnarray*} f(x)=2*sin (x+\frac{\pi}{4}) * cos-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ <-- irgendwie hergeleitet von Pytagoras

Die Lösung lautet am Ende

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2} * sin (x+\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, das ich auf den Lösungsweg kommen muss bzw diesen wiedergeben muss und da haperts mit der verständis Ich weiß nicht wie ich auf die lösung komme

06.03.2007, 19:55

Calvin

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Der Rest ist nur noch einfaches Zusammenfassen/Bruchrechnen:

$\begin{eqnarray*} \sin{\frac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2}}=\sin{\frac{2x+\frac{\pi}{2}}{2}}=\sin{\frac{4x+\pi}{4}}=\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$

Und beim Cosinus:

$\begin{eqnarray*} \cos{\frac{x-(x+\frac{\pi}{2})}{2}}=\cos{\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}}=\cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ <-- irgendwie hergeleitet von Pytagoras

Nein, das habt ihr sicher nicht hergeleitet Augenzwinkern

Ihr habt hergeleitet, dass $\begin{eqnarray*} \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Das kannst du dir am Einheitskreis klarmachen. Welchem Winkel entspricht denn $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt alles einsetzen und zusammenfassen.

06.03.2007, 20:01

Celestis

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DANKE !!! ^^

Also das sind ja -45°

Ich verstehe ja aber nicht wie aus $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ werden kann. Wir haben das über Pytagoras ausgerechnet aber wieso?

Vielen Dank schonmal das du dir die Zeit nimmst um dich mit meinem Problem auseinanderzusetztn

06.03.2007, 20:08

Calvin

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Zitat:

Original von Celestis
Ich verstehe ja aber nicht wie aus $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ werden kann.

Das kannst du auch nicht verstehen, weil es schlichtweg falsch ist Augenzwinkern

Ihr habt hergeleitet, dass $\begin{eqnarray*} \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Das kann man entweder am Einheitskreis herleiten, oder man nimmt sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=45^{\circ} \end{eqnarray*}$ sind. Die Hypothenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel) soll die Länge 1 haben. Wie lang sind die beiden anderen Seiten?

06.03.2007, 20:27

Celestis

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*freu* so langsam versteh ich es ^^

bin jetzt bei 1²=a²+b² wir in der schule haben jetzt gesagt a=b

weißt du vllt wieso ?

Nochmal thx for help

bzw wieso habe ich denn nun 45° ? wenn ich versuche das im einheitskreis zu zeichnen (r=1) dann habe ich nie a=b

06.03.2007, 20:40

Calvin

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Zitat:

Original von Celestis
bin jetzt bei 1²=a²+b² wir in der schule haben jetzt gesagt a=b

Wenn der Winkel 45° ist, dann sind die beiden Katheten a und b gleich lang.

Zitat:

wenn ich versuche das im einheitskreis zu zeichnen (r=1) dann habe ich nie a=b

Doch, bei 45° hast du a=b. Ich versuche mal eine Skizze zu machen.

Und vielen Dank für die pm. Schön, ab und zu mal ein Danke zu hören Mit Zunge

EDIT

Hier die Skizze:

06.03.2007, 20:43

Celestis

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Super !!!

Jetzt hab ichs verstanden

bin jetzt bei $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ jetzt fehlt nurnoch ein kleines stück ^^ wie gehts nun weiter?

Also ist dieses $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ nur ne andere schreibweise für $\begin{eqnarray*} cos(-\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ oder?

Ich glaub ich habs echt geschnallt ^^

06.03.2007, 20:46

Calvin

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Zitat:

Original von Celestis
bin jetzt bei $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Multipliziere mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Also ist dieses $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ nur ne andere schreibweise für $\begin{eqnarray*} cos(-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ oder?

PS Kann es sein, dass du das Klammer schließen nicht magst? Augenzwinkern

06.03.2007, 20:47

Celestis

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Zitat:

Multipliziere mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

wieso?

PS: Die schreibweise is nur ungewohnt ^^ du weißt ja selber wo klammern hingehören Wink

06.03.2007, 21:03

Calvin

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Zitat:

Original von Celestis
wieso? Big Laugh

Mach es, dann weißt du, wieso Big Laugh

Und die fehlenden Klammern sind dir verziehen. Ich weiß ja, dass der Umgang mit dem Formeleditor nicht von anfang an selbstverständlich ist.

06.03.2007, 21:15

Celestis

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Ich habe $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren ^^ warum auch immer verwirrt

dann komm ich auf $\begin{eqnarray*} a= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}²} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Irgendwas stimmt da nicht ^^ kann mir auch keinen Reim drauf machen wieso ich das so machen muss

sryyyyyyy traurig

EDIT: oder kürzen sich Wurzel und quadrat dort weg`??

aber wie bist du drauf gekommen das nochmal x $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ zu nehmen

06.03.2007, 21:18

Calvin

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Ja, die Wurzel und das Quadrat "kürzen" sich weg. Es ist $\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{2}\right)^2=2 \end{eqnarray*}$

Das Verfahren nennt man "Nenner rational machen". Man erweitert, so dass im Nenner die Wurzel wegfällt. In diesem Fall passiert das eben durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 21:21

Celestis

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ok war ne schwere Geburt aber jetzt hab ichs ;-) nochmal nen herzliches DANKESCHÖN Prost

Wünsch dir noch nen schönen Abend

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f(x)=sin(x) + cos (x)

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