Ganzzahlige Ungleichung

30.04.2019, 09:42

Mona Mona

Ganzzahlige Ungleichung

Die folgende Gleichung soll mit nicht negativen ganzen Zahlen gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 5 \end{eqnarray*}$

Wie viele Möglichkeiten gibt es ?

Das ist einfach. Ich ziehe aus 4 Urnen 5 mal, mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.

$\begin{eqnarray*} anzahl = \begin{pmatrix} 4 + 5 - 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sieht das aber bei der folgenden Ungleichung aus ?

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 \leq 5 \end{eqnarray*}$

Natürlich kann ich das auf die erste Aufgabe zurückführen und die Sache für die Zahlen 0, 1, ..., 5 mit Gleichheitszeichen lösen.

Aber auch das ist viel Rechnerei. Vor allem, wenn ich 5 durch 95 ersetzen würde ! Geht das nicht einfacher ?

30.04.2019, 10:19

Mona Mona

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Yeheyyyy ... ich habe es selber heraus gefunden !

Für alle, die es interessiert:

Ich habe einfach mal die Sache (mühsam) ausgerechnet ... es sind 56 Möglichkeiten und das ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 5 - 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da ist es mir wie Schuppen von den Augen gefallen: ich führe einfach eine Schlupfvariable ein und löse die folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} {pmatrix} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ = 5 \end{eqnarray*}$

30.04.2019, 10:34

HAL 9000

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Ja, letztlich richtig, aber das erste oben ist noch falsch. Nochmal zusammengefasst:

Zitat:

Original von Mona Mona
Die folgende Gleichung soll mit nicht negativen ganzen Zahlen gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = 5 \end{eqnarray*}$

Wie viele Möglichkeiten gibt es ?

Das ist einfach. Ich ziehe aus 4 Urnen 5 mal, mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.

Na eher so: Fünfmaliges Ziehen aus einer Urne mit 3 unterscheidbaren Kugeln, mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.

Anzahl $\begin{eqnarray*} \binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = 21 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mona Mona
Wie sieht das aber bei der folgenden Ungleichung aus ?

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 \leq 5 \end{eqnarray*}$

Durch Einführen einer (ebenfalls nichtnegativ ganzzahligen) Schlupfvariable $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ wird das ganze zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5 \end{eqnarray*}$

mit der Interpretation: Fünfmaliges Ziehen aus einer Urne mit 4 unterscheidbaren Kugeln, mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge.

Anzahl $\begin{eqnarray*} \binom{4+5-1}{5} = \binom{8}{5} = 56 \end{eqnarray*}$ .

30.04.2019, 11:39

Mona Mona

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ja, so ist das jetzt richtig. Ich bin halt ein schusseliges Hühnchen.

Jetzt wo die Sache mit der Ungleichung gelöst ist, hast du denn eine Idee für das andere Problem mit dem Schachbrett und dem König ? Da sollte es doch eine bessere Lösung geben ... aber irgendwie finde ich da nicht den richtigen Ansatz ! grrrrrrrrr ....

Große Rechnereien mit Binomial Ausdrücken haben wir noch nicht in der Vorlesung gemacht. Das muss also irgend ein ganz einfacher Kniff sein ... auf den komme ich aber einfach nicht !

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