Induktionsbeweis: Keine Primfaktoren =<37 für n^2+n+41

30.04.2019, 21:25	MrHazl	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis: Keine Primfaktoren =<37 für n^2+n+41 Meine Frage: Bewiesen werden soll, dass für jede natürliche Zahl n die Zahl $\begin{eqnarray} P(n):= n^{2}+n+41 \end{eqnarray}$ keinen Primfaktor $\begin{eqnarray} \geq37 \end{eqnarray}$ besitzt. Das ganze soll per Induktion bewiesen werden leider. Leider erschließt sich mir momentan nicht einmal eine plausible Induktions-Vorraussetzung. Meine Ideen: Es soll gezeigt werden das $\begin{eqnarray} P(n) \end{eqnarray}$ nicht durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ geteilt werden kann. Daher lässt sich $\begin{eqnarray} P(n)=mp+r \end{eqnarray*}$ schreiben. Edit by IfindU: Kleinen LaTeX-Fehler behoben
30.04.2019, 21:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis: Keine Primfaktoren =<37 für n^2+n+41 Was ist mit n=41?
01.05.2019, 08:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll vermutlich $\begin{eqnarray} \leq 37 \end{eqnarray}$ heißen. Möglicher Nachweis (ohne Induktion): Man zeigt zunächst, dass $\begin{eqnarray} P(n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=0,1,\ldots,39 \end{eqnarray}$ sämtlich Primzahlen sind (vergleiche hier), offensichtlich sind diese Werte alle $\begin{eqnarray} \geq 41 \end{eqnarray}$ . Die Annahme, dass irgendein P(n) dann einen Primfaktor $\begin{eqnarray} p\leq 37 \end{eqnarray}$ hat, führt dann sofort zum Widerspruch: Man wählt $\begin{eqnarray} m\in\{0,1,\ldots,39\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\equiv n\bmod p \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} p\nmid P(m) \end{eqnarray}$ , während aber $\begin{eqnarray} P(n)-P(m) = (n-m)(n+m+1) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ teilbar ist...

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