Wahrheitstabelle

01.05.2019, 00:45

hamsie

Wahrheitstabelle

Meine Frage:
Hallo,
ich muss folgende Aufgabe lösen: Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, dass die De Morgansche Regel
-(A V B) = -A ^ -B
für alle möglichen Belegungen der logischen Variablen A und B wahr ist.
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was mit "allen möglichen Belegungen der logischen Varialblen...." gemeint ist. Wieviele Spalten muss meine Tabelle haben?

Meine Ideen:
Ich würde meinen nur 2 also eine für -(aVb) und eine für -a^-b, aber die vorgegebene Tabelle hat 6 Spalten. in der ersten steht schon aVb, dann vier freie spalten und dann -(aVb)=-a^-b.
Ich weiß gerade nicht, wie ich anfangen soll....

Vielen Dank schonmal
hamsie

01.05.2019, 01:37

MaPalui

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Hallo hamsie,

die variablen(besser: Aussagen) sind A und B. Diese können jeweils wahr oder falsch sein.
Nun benötigst du die Verknüpfungen zwischen diesen Aussagen(Beispiel: „A und B“ und den wahrheitswert dazu) und die jeweiligen Verneinungen.

01.05.2019, 01:46

mYthos

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Die Spalten sind zunächst die 4: A, -A (nicht A), B, -B (nicht B) und dann die 2: $\begin{eqnarray*} -(A \cup B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-A \cap -B) \end{eqnarray*}$ , somit 6 Spalten.
Natürlich kann $\begin{eqnarray*} (A \cup B) \end{eqnarray*}$ auch an den Anfang gesetzt und zur besseren Übersicht dazu noch eine Spalte für $\begin{eqnarray*} -(A \cup B) \end{eqnarray*}$ (Verneinung) eingezogen werden (dann sind es sogar 7 Spalten).

Danach sind 4 Zeilen für die Zustände (Fälle) ww, wf, fw und ff bei A und B zu erstellen (w -- wahr, f -- falsch ...)

A .. B .. -A .. -B .. ......
--------------------------------------
w .. w ..
w .. f ..
f .. w ..
f .. f ..

usw.

Für "wahr" ist auch T (true) und für "falsch" F (false) üblich.

mY+

01.05.2019, 09:27

Dopap

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RE: Wahrheitstabelle

Zitat:

Original von hamsie

-(A V B) = -A ^ -B
für alle möglichen Belegungen der logischen Variablen A und B wahr ist.
...

Die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \lnot(a\lor b)\,{\color{red}\quad \Leftrightarrow} \quad \lnot a \land \lnot b \end{eqnarray*}$ ist richtig, wenn
die Bijunktion $\begin{eqnarray*} \lnot(a\lor b) \quad \, \,{\color{red}\leftrightarrow }\quad \lnot a \land \lnot b \end{eqnarray*}$ Wahrform oder Tautologie ist.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	A B ¦ ¬(A v B) <-> (¬A & ¬B) -----+----------------------------------------------- 1 1 ¦ 0 1 0 1 0 ¦ 0 1 0 0 1 ¦ 0 1 0 0 0 \| 1 1 1

01.05.2019, 12:33

hamsie

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Hallo,

danke für die Antworten smile

Was mich verunsichter hat, war die Form der vorgegebenen Tabelle...
Ich verstehe auch nicht was ich in der letzten Spalte eintragen soll.

LG
hamsie

01.05.2019, 12:48

mYthos

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Die Gestaltung der Tabelle ist dir eigentlich freigestellt, mit dieser ist lediglich die angegebene Regel zu beweisen.
Die im Text angegebene letzte Spalte beinhaltet den zu beweisenden Satz, natürlich muss dieser für alle 4 Zeilen wahr sein.
Um dies besser zu sehen, erstelle zunächst die beiden Spalten "nicht (A ODER B)" und "(nicht A) UND (nicht B)", in beiden muss die Reihenfolge f, f, f, w erscheinen.
Damit ist der Beweis geführt.

mY+

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