Beweis, dass 2^n >= n^2 OHNE Induktion

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Flixius Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass 2^n >= n^2 OHNE Induktion
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Beweisen sie, dass für alle gilt ohne Induktion zu verwenden!
Hinweis: lasst sich als Summe von Binomialkoeffizienten schreiben. Zeigen Sie, dass sogar für alle gilt.


Ehrlich gesagt verstehe ich nicht so recht wie ich hier überhaupt anfangen soll. Wozu ist der Hinweis gut?
Zuerst beweisen?
Also vielleicht ?

Könnte mir hier jemand auf die Sprünge helfen? Auf welche Art und Weise löse ich eine solche Aufgabe am besten?

Danke.
Gruß
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg ist doch im Hinweis schon vorgegebenen: Wende den binomischen Lehrsatz aus an und schätze die Summe geeignet ab.
 
 
Flixius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort!
Wenn ich das richtig gerechnet habe bringt mich das zu
(Wobei alles ab den Punkten nicht benötigt werden sollte oder?)

Doch wie mache ich jetzt am besten weiter?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränke dich auf den zweiten und dritten Summanden, d.h., so wie hier:

Zitat:
Original von Flixius
Also vielleicht ?

Und nun versuche das äquivalent umzuformen bis du erkennst, dass die entstandene Ungleichung für alle erfüllt ist.

Für die verbleibenden beiden Werte n=5 und n=6 überprüft man die nachzuweisende Ungleichung in einer gesonderten Zusatzbetrachtung.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Symmetrie der Binomialkoeffizienten, also , ausnützt, wird es etwas einfacher. Man bildet, wie es der kleine Carl Friedrich gemacht hat, Paare: erster und letzter, zweiter und vorletzter, dritter und drittletzter Binomialkoeffizient in der -Zeile des Pascalschen Dreiecks. Die übrigen Binomialkoeffizienten läßt man unter den Tisch fallen. Ab gibt es genügend Material. Offensichtlich gilt die Aussage dann auch noch für .

Auch wenn vermutlich ein elementarer Beweis gesucht wird, hier noch ein nichtelementarer mit Methoden der Analysis. Durch Logarithmieren der Ungleichung erkennt man, daß es genügt, für die Funktion mit für zu zeigen:

für

Man findet als einzige Nullstelle von mit einem Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Daher fällt im Intervall streng monoton. Und da ist und gilt, ist alles gesagt.
Flixius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch hat mir sehr geholfen smile
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