Grenzwertbestimmung

02.05.2019, 14:11	Sabbse92	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung Hallo, hat jemand eine Idee wie man zeigen kann, dass der folgende Ausdruck $\begin{eqnarray} p_X(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{l=0}^n \binom{n}{l} \delta(\sqrt{n}-2\frac{l}{\sqrt{n}}-x) \end{eqnarray}$ für n gegen unendlich gegen eine Gausverteilung konvergiert. Die obige Gleichung erhält man aus der normalisierten Summe von identischen, unabhängingen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_i, i=1,2,\dots, n \end{eqnarray}$ dessen W'dichte durch $\begin{eqnarray} p_{X_i}(x)=1/2\delta(x-1)+1/2\delta(x+1) \end{eqnarray}$ beschrieben wird. Es handlet sich hierbei um den random Walk in diskreter Zeit und in einer Dimension.
02.05.2019, 16:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest über die charakteristische Funktion gehen: Die wäre hier $\begin{eqnarray} \varphi_{X_n}(t) &=& E\left( e^{itX_n}\right) = \frac{1}{2^n} \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} e^{it\left(\sqrt{n}-\frac{2l}{\sqrt{n}}\right)} = \frac{e^{it\sqrt{n}}}{2^n} \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} \left( e^{-it\frac{2}{\sqrt{n}}} \right)^l = \frac{e^{it\sqrt{n}}}{2^n} \left( 1 + e^{-it\frac{2}{\sqrt{n}}} \right)^n\\ &=& \left( \frac{e^{it\frac{1}{\sqrt{n}}} + e^{-it\frac{1}{\sqrt{n}}}}{2} \right)^n = \cosh^n\left(i\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = \cos^n\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray}$ Nun gilt wg. Taylorreihe $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = 1-\frac{t^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \varphi_{X_n}(t) = \left(1-\frac{t^2}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)^n \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gegen die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray} e^{-\frac{t^2}{2}} \end{eqnarray}$ der Standardnormalverteilung konvergiert (siehe u.a. hier).

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