Polynom potenzieren

03.05.2019, 12:04

Mona Mona

Polynom potenzieren

Ich habe hier eine Umformung, die ich nicht nachvollziehen kann:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{1 - x} )^{3} = \left(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}x +\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}x^{2} + ...\right) \end{eqnarray*}$

Ich verwende die geometrische Summenformel für

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + ... \end{eqnarray*}$

Aber wie erhebe ich das jetzt in die 3. Potenz ?

03.05.2019, 12:49

URL

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RE: Polynom potenzieren
Du könntest die geometrische Reihe zweimal ableiten.

03.05.2019, 13:07

Huggy

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RE: Polynom potenzieren

Zitat:

Original von Mona Mona
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + ... \end{eqnarray*}$

Aber wie erhebe ich das jetzt in die 3. Potenz ?

Alternative zu URL:

Nun ja, du erhebst die Potenzreihe rechts in die 3. Potenz und zählst dann die Zahl der Möglichkeiten aus, Potenzen aus den 3 Reihen zu einer Potenz mit Exponent $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu kombinieren:

$\begin{eqnarray*} x^a x^b x^c=x^n \end{eqnarray*}$

Das ist ein Standardproblem der Kombinatorik: Wieviele Möglichkeiten gibt es, n mal aus k Urnen/Töpfen zu ziehen, wenn man das gezogene Objekt wieder zurücklegt und die Reihenfolge keine Rolle spielt. Diese anzahl ist

$\begin{eqnarray*} N=\binom {n+k-1} n = \binom {n+k-1} {k-1} \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ .

03.05.2019, 13:13

Mona Mona

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Vermutlich ist das was Huggy schreibt hier verwendet worden. Weil das vorher behandelt wurde.

Aber beide Lösungen sind natürlich Klasse. Danke !

03.05.2019, 13:24

HAL 9000

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Falls die Binomische Reihe $\begin{eqnarray*} (1+t)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} t^k \end{eqnarray*}$ bekannt ist, dann bekommt man für $\begin{eqnarray*} \alpha=-3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t=-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{-3} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \binom{-3}{k} x^k \end{eqnarray*}$

und nutzt dann $\begin{eqnarray*} \binom{-3}{k} = \frac{(-3)(-4)\cdot \ldots (-3-k+1)}{k!} = (-1)^k \frac{3\cdot 4\cdot \ldots (k+2)}{k!} = (-1)^k \binom{k+2}{k} = (-1)^k \binom{k+2}{2} \end{eqnarray*}$ , das ergibt

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{-3} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k+2}{2} x^k \end{eqnarray*}$ .

03.05.2019, 14:45

Mona Mona

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Jetzt hats geschnackelt !

Genau DIE Formel ist ein paar Seiten vorher behandelt worden. Dass ich das mit negativen Potenzen verwenden kann ist mir nicht in den Sinn gekommen.

Drei Lösungen, eine hübscher als die andere. Ihr seid einfach super !

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