Taylorpolynom und Lagrange-Restglied

03.05.2019, 19:29

SM!LE

Taylorpolynom und Lagrange-Restglied

Guten Tag,

ich habe eine Aufgabe gelöst bin mir bei dem Ergebnis jedoch nicht so sicher.
Das ist das 1. Mal, dass ich ein Lagrange-Restglied bestimmen musste und ich war etwas verwirrt, dass kein Intervall angegeben wurde.

Aufgabe:

Man bestimme das Taylorpolynom 3. Ordnung zum Arkustangens $\begin{eqnarray*} \ f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ x\rightarrow arctanx \end{eqnarray*}$ , im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und gebe das zugehörige Lagrange-Restglied an.

Meine Lösung:

Zuerst habe ich die nötigen Ableitungen bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \ f(x)=arctanx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f^{(1)}(x)=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f^{(2)}(x)=-\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f^{(3)}(x)=\frac{2\cdot\left(3x^2-1\right)}{\left(1+x^2\right)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ f^{(4)}(x)=\frac{24x\cdot\left(1-x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^4} \end{eqnarray*}$

Danach hab ich das Taylorpolynom 3. Ordnung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \ T_3f(x,x_0)=x-\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

Sieht mein Lagrange-Restglied, da ich kein Intervall gegeben habe, folgendermaßen aus?

$\begin{eqnarray*} \ R_3f(x,x_0)=\frac{\xi\cdot\left(1-\xi^2\right)}{\left(1+\xi^2\right)^4}x^4 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

03.05.2019, 19:59

Dopap

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$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0):=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ das n-te Lagrange-Restglied, wobei $\begin{eqnarray*} \color{red}\xi \,\text{zwischen}\, x \,\text{und}\, x_0 \end{eqnarray*}$ liegt.

Das Restglied ermöglicht eine Berechnung des maximalen Fehlers, der durch die Approximation entsteht.

03.05.2019, 20:32

SM!LE

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Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0):=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^k \end{eqnarray*}$ das n-te Lagrange-Restglied, wobei $\begin{eqnarray*} \color{red}\xi \,\text{zwischen}\, x \,\text{und}\, x_0 \end{eqnarray*}$ liegt.

Das Restglied ermöglicht eine Berechnung des maximalen Fehlers, der durch die Approximation entsteht.

Danke für die Antwort aber ist das n-te Lagrange-Restglied nicht folgendermaßen definiert?

$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0):=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^\textcolor{red}{n+1} \end{eqnarray*}$

Mir ist auch bewusst, dass $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegt jedoch habe ich ja in dieser Aufgabe kein Intervall für x gegeben.

Deswegen habe ich das folgendermaßen gemacht:

$\begin{eqnarray*} \ R_3f(x,x_0)=\frac {f^{(4)}(\xi)}{(4)!} (x-x_0)^4=\frac{24\xi\left(1-\xi^2\right)}{24\left(1+\xi^2\right)^4}\left(x-0\right)^4=\frac{\xi\left(1-\xi^2\right)}{\left(1+\xi^2\right)^4}x^4 \end{eqnarray*}$

Und wollte wissen ob man das in dem Fall dann so macht ?

03.05.2019, 21:31

Dopap

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Zitat:

Original von SM!LE

$\begin{eqnarray*} R_n(x,x_0):=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^\textcolor{red}{n+1} \end{eqnarray*}$

logisch!

Zitat:

Deswegen habe ich das folgendermaßen gemacht:

$\begin{eqnarray*} \ R_3f(x,x_0)= [...] =\frac{\xi\left(1-\xi^2\right)}{\left(1+\xi^2\right)^4}x^4 \end{eqnarray*}$

Und wollte wissen ob man das in dem Fall dann so macht ?

logisch!

03.05.2019, 21:39

SM!LE

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Alles klar.
Vielen Dank smile

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