Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben?

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03.05.2019, 19:46	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Guten Abend, ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe und bitte um eine Lösung und Erklärung Die Aufgabe lautet Geben sie die "Verteilungsmengen" bzgl. der diskreten Zufallsvariable X an für: $\begin{eqnarray} (i) N:= X² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (ii) M := \sqrt(\|X\|) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (iii) K .= (X-M)² \end{eqnarray}$ Es gibt eine Musterlösung für N und so soll ich auch die restlichen zwei machen: (i) Es gilt für $\begin{eqnarray} n \geq 0,\{N=n\}=\{X=-\sqrt{n}\} \cup\{X=\sqrt{n}\} \end{eqnarray}$ Nun mein Versuch: (ii) Es gilt für $\begin{eqnarray} m \in R, \{M=m\} = \{X=-m²\} \cup\{X=m²\} \end{eqnarray}$ Bei (iii) stoße ich auf meine Grenzen und ich bin ehrlich, ich habe die (ii) nur geraden. Könntet ihr mit bitte helfen diese Aufgabe in den Griff zu bekommen.
04.05.2019, 12:16	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Hat keiner eine Idee?
04.05.2019, 13:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Du musst ja nur effektiv nach $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ umstellen. So ist das erste $\begin{eqnarray} N = X^2 \implies \pm \sqrt{N} = X \end{eqnarray}$ . Also wenn $\begin{eqnarray} N =n \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} X = \pm \sqrt N = \pm \sqrt n \end{eqnarray}$ . Was anderes steht da ja nicht.
04.05.2019, 14:31	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Hallialo Das ist richtig, nur wie geht dies dies bei der der (iii)? Und was ist der Sinn dahinter? Ich würde es nämlich gerne verstehen
04.05.2019, 14:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Erste Frage: Ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Zahl oder Zufallsvariable?
04.05.2019, 15:05	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Das ist eine gute Frage, denn dazu steht in der Aufgabe nichts. Meiner Meinung nach würde es keinen Sinn machen, wenn es keine Zufallsvariable wäre, also ja es ist eine.
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04.05.2019, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Na dann. Aus (i) folgt also $\begin{eqnarray} n \geq 0,\{N=n\}=\{X-M=-\sqrt{n}\} \cup\{X-M=\sqrt{n}\} \end{eqnarray}$ . Wenn man will kann man jetzt noch $\begin{eqnarray} m \in \mathbb R \end{eqnarray}$ betrachten und dann $\begin{eqnarray} \{N=n\} \cap \{ M = m\} = \ldots \end{eqnarray}$ komplett in $\begin{eqnarray} X,n,m \end{eqnarray}$ ausdrücken.
04.05.2019, 16:22	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Genau an dem M liegt ja mein Problem, ich weiß nicht wie ich dies nun mit unterbringe. Also ja ich würde es gerne so ausdrücken, nur weiß ich nicht wie. Weiter würde ich gerne verstehen, was es mit diesen "Gleichung" auf sich hat, was soll das bedeuten?
04.05.2019, 17:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Wenn man schon $\begin{eqnarray} n \geq 0,\{N=n\}=\{X-M=-\sqrt{n}\} \cup\{X-M=\sqrt{n}\} \end{eqnarray}$ hat, dann folgt doch sofort, dass $\begin{eqnarray} n \geq 0,\{N=n\} \cap \{ M = m\}&=&(\{X-M=-\sqrt{n}\} \cup\{X-M=\sqrt{n}\}) \cap \{ M = m\}\\ &=&\{X-m=-\sqrt{n}\} \cup\{X-m=\sqrt{n}\} \end{eqnarray}$
04.05.2019, 18:04	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Du beziehst doch aber M garnicht mit ein, denn für m gilt ja $\begin{eqnarray} m \in R,\{M=m\}=\left\{X=-m^{2}\right\} \cup\left\{X=m^{2}\right\} \end{eqnarray}$ Wenn ich mich bei (ii) nicht vermacht habe. Ist mein Problem verständlich? Wir haben ja zwei Mengen X und M und damit soll nun (X-M)² = K berechnet werden, bzw umgeformt werden Mann hätte dann doch $\begin{eqnarray} (K = k) = (M=m) \cap (n=n) = (\{X-M=-\sqrt{n}\} \cup\{X-M=\sqrt{n}\}) \cap (\left\{X=-m^{2}\right\} \cup\left\{X=m^{2}\right\}) \end{eqnarray}$ ? Wobei dann natürlich noch $\begin{eqnarray} M :=\sqrt{( } \|X \| ) \end{eqnarray}$ gilt, also $\begin{eqnarray} (K = k) = (M=m) \cap (n=n) = (\{X-\sqrt{( } \|X \| )=-\sqrt{n}\} \cup\{X-\sqrt{( } \|X \| )=\sqrt{n}\}) \cap (\left\{X=-m^{2}\right\} \cup\left\{X=m^{2}\right\}) \end{eqnarray}$ Ich hoffe du merkst, dass ich gerade etwas überfordert bin Es tut mir leid, wenn ich hier unkluge Sachen schreibe, aber ich will es verstehen
04.05.2019, 19:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Ach so. Du gehst also davon aus es ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ aus (ii) gemeint. Das kann natürlich sehr gut sein. Das macht die Sache natürlich schwieriger! Schauen wir uns mal $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = (x- \sqrt {\|x\|})^2 \end{eqnarray}$ an:. Dann will man $\begin{eqnarray} f^{-1} (n) \end{eqnarray}$ bestimmen. Das ist ein wenig nervige Rechenarbeit. Offenbar ist $\begin{eqnarray} f^{-1} (n) =(f^{-1} (n) \cap (-\infty,0))\cup (f^{-1} (n) \cap [0,\infty)) \end{eqnarray}$ . Es reicht also erst die Urbilder im für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ zu betrachten und dann für $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt {\| x\|} = x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x = (\sqrt x)^2 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} f(x) =( (\sqrt x)^2 - \sqrt x)^2 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} z = \sqrt x \end{eqnarray}$ führt $\begin{eqnarray} f(x) = n \end{eqnarray}$ dann zu einer quadratischen Gleichung in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt {\| x\| } = \sqrt { -x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x = -(\sqrt {-x})^2 \end{eqnarray}$ . Dann auch $\begin{eqnarray} f(x) = ( -(\sqrt {-x})^2 - \sqrt { -x})^2 \end{eqnarray}$ . Die Substitution $\begin{eqnarray} z = \sqrt {-x} \end{eqnarray}$ führt dann zu einer quadratischen Gleichung bei $\begin{eqnarray} f(x) = n \end{eqnarray}$ . Fügt man alles zusammen, so hat man die Lösung. Wie du siehst, alles andere als angenehm.
04.05.2019, 20:06	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Ja, ich sehe es Also ich habe keine Ahnung wie die Lösung ausschauen soll und ich glaube ich lasse es auch. Das Problem ist, du nutz immer wieder eine andere Notation, da weiß ich jetzt garnicht was was ist Es müsste ja irgendwie auch ein k vorkommen bei (K=k)= ... Dennoch danke für die bisherige Hilfe P.S. Wie soll man das aber formal aufschreiben? Es ist eine Klausuraufgabe gewesen, kann mir nicht vorstellen, dass man es so wollte, es muss irgendwie wie die anderen Beiden (i) (ii) aussehen
04.05.2019, 20:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Wenn man das alles hat, ist es einfach. Sei $\begin{eqnarray} k \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann enthält $\begin{eqnarray} f^{-1}(k) \end{eqnarray}$ höchstens 4 Elemente. Diese seien $\begin{eqnarray} k_1, k_2, k_3, k_4 \end{eqnarray}$ und dann ist $\begin{eqnarray} \{ K = k \} = \{ X = k_1\} \cup\{ X = k_2\} \cup\{ X = k_3\} \cup\{ X = k_4\} \end{eqnarray}$ . Oder kürzer: $\begin{eqnarray} \{ K = k \} =\bigcup_{x \in f^{-1}(k)} \{ X = x\} \end{eqnarray}$
04.05.2019, 20:23	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Wenn du mir jetzt noch sagst, was k genau ist, denn in deiner Rechnung zuvor kommt es nicht vor, dann wäre ich dir sehr sehr sehr Dankbar. Dann kann ich es vlt auch nachvollziehen, mir geht es nämlich mehr um den Lerneffekt, denn am Ende des Tages muss ich es auch können
04.05.2019, 20:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? Ich hab es in meiner Rechnung bloss $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ genannt. Macht der Gewohnheit. Generell gilt die Formel $\begin{eqnarray} Z = f(X) \implies \{ Z = z \} = \bigcup_{x \in f^{-1}(z)} \{ X = x\} \end{eqnarray}$ . Die ganze Arbeit ist also nur das Urbild zu bestimmen.
04.05.2019, 20:33	Thomas16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? OK also ist n gleich z und z gleich k Ich versuche mich da mal durchzufinden, denke aber ich werde nicht verstehen wie du es gemacht hat Ich danke dir dennoch für die Mühe Und sry für mein Unverständnis, ich bin Schülerstudent und brauche es irgendwie etwas genauer um dahinter zukommen. Ich verstehe z.B nicht was die ganzen k_1 bis k_4 darstellen sollen, bzw n bei dir
05.05.2019, 13:20	Katarina15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie soll man diese Gleichung bzgl der Verteilung angeben? @Thomas16 Dürfe ich mich hier auch einmal mit einmischen, denn ich habe fast dieselbe Aufgabe mal gesehen und habe es nicht verstanden. @IfindU Ich habe versucht deinen Weg zu verstehen, allerdings vermischt du sehr viel, wäre es möglich, dass du die Rechnung und deine später Lösung erklärst, bzw etwas genauer formulierst, sodass man auf versteht, was $k_1, k_2$ etc sein soll, also welchen Wert dies annehmen? Denn durch die vielen Posts mit jeweils unterschiedlicher Notation geht sehr viel verloren. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du oder ein andere dies einmal ordentlich aufbereiten könnte, damit es Leute wie ich verstehen, es scheint nämlich nicht trivial zu sein. Liebe Grüße Katarina

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