IR^n und eine Kugel homöomorph

03.05.2019, 23:40

Pinahoo2006

IR^n und eine Kugel homöomorph

Meine Frage:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ und die Kugel $\begin{eqnarray*} K_{1} (0):=\left\{ x\in \mathbb R^{n} | ||x||<1 \right\} \end{eqnarray*}$ homöomorph sind.
(x ist in der Aufgabenstellung jeweils unterstrichen, was man hier aber leider nicht darstellen kann und das zweite x steht zwischen Normstrichen).

Meine Ideen:
Ich weiß, dass zwei metrische Räume homöomorph sind, falls eine bijektive Abbildung f: X —> Y existiert, sodass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig sind.
Allerdings weiß ich nun nicht, wie genau ich dies im Beispiel oben zeigen kann.

Vielleicht wäre ja jemand bereit die Lösung gemeinsam mit mir zu erarbeiten.

04.05.2019, 00:07

zweiundvierzig

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Betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R^n \to B, \; x \mapsto \frac{x}{1+\|x\|} \end{eqnarray*}$ .

04.05.2019, 00:47

Pinahoo2006

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IR^n und eine Kugel homöomorph
Anhand dieser Abbildung muss ich dann die Umkehrabbildung bestimmen?
Und bei Abbildung und Umkehrabbildung zeigen, dass sie stetig sind?

Ich würde das dann mal versuchen und mich ggf. bei Problemen nochmal melden.

04.05.2019, 12:03

zweiundvierzig

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Genau.

04.05.2019, 19:16

Pinahoo2006

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Wie komme ich denn eigentlich darauf genau diese Abbildung zu verwenden?

Und die Umkehrabbildung müsste ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\frac{x}{1+||x||} }{1+||\frac{x}{1+||x||}|| } \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

04.05.2019, 20:31

Pinahoo2006

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Und zusätzlich Frage ich mich, wie ich Stetigkeit zeigen soll. Wie es allgemein geht, ist mir klar. Aber mit der Norm weiß ich nicht so genau. Gibt es da irgendwelche Regeln?

04.05.2019, 21:59

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pinahoo2006
Und die Umkehrabbildung müsste ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\frac{x}{1+||x||} }{1+||\frac{x}{1+||x||}|| } \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

Das glaube ich nicht.

Zitat:

Original von Pinahoo2006
Wie komme ich denn eigentlich darauf genau diese Abbildung zu verwenden?

Gesucht ist eine Abbildung, die Vektoren geeignet herunterskaliert. Man kann sich das auch allgemeiner für Kugeln mit beliebigem Durchmesser überlegen.

Zitat:

Original von Pinahoo2006
Und zusätzlich Frage ich mich, wie ich Stetigkeit zeigen soll.

Eine Möglichkeit wäre zu argumentieren, dass die Abbildungen aus stetigen Abbildungen (Norm, Summe, Quotient...) "zusammengesetzt" ist, sofern das Kriterium bekannt ist.

05.05.2019, 12:52

Leopold

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pinahoo2006
Und die Umkehrabbildung müsste ja $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\frac{x}{1+||x||} }{1+||\frac{x}{1+||x||}|| } \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

Das glaube ich nicht.

Du mußt

$\begin{align*} y = \frac{1}{1 + \left\| x \right\|} \cdot x \end{align*}$

nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auflösen. Wenn man den Trick kennt, ist es nicht schwer: Man geht in der Gleichung zur Norm über. Da der Skalar vor $\begin{align*} x \end{align*}$ positiv ist, kann man ihn nach den Regeln für eine Norm vor die Norm ziehen:

$\begin{align*} \left\| y \right\| = \frac{1}{1 + \left\| x \right\|} \cdot \left\| x \right\| \end{align*}$

Dies zeigt unter anderem, daß $\begin{align*} \left\| y \right\| < 1 \end{align*}$ ist. In der letzten Gleichung liegt eine Gleichung zwischen reellen Zahlen vor. Löse sie nach $\begin{align*} \left\| x \right\| \end{align*}$ auf, setze das ganz am Anfang ein und löse nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auf.

07.05.2019, 13:19

Pinahoo2006

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Vielen Dank!

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