IR^n und eine Kugel homöomorph

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Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »
IR^n und eine Kugel homöomorph
Meine Frage:
Zeigen sie, dass und die Kugel homöomorph sind.
(x ist in der Aufgabenstellung jeweils unterstrichen, was man hier aber leider nicht darstellen kann und das zweite x steht zwischen Normstrichen).

Meine Ideen:
Ich weiß, dass zwei metrische Räume homöomorph sind, falls eine bijektive Abbildung f: X —> Y existiert, sodass und stetig sind.
Allerdings weiß ich nun nicht, wie genau ich dies im Beispiel oben zeigen kann.

Vielleicht wäre ja jemand bereit die Lösung gemeinsam mit mir zu erarbeiten.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die Abbildung .
 
 
Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »
IR^n und eine Kugel homöomorph
Anhand dieser Abbildung muss ich dann die Umkehrabbildung bestimmen?
Und bei Abbildung und Umkehrabbildung zeigen, dass sie stetig sind?

Ich würde das dann mal versuchen und mich ggf. bei Problemen nochmal melden.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich denn eigentlich darauf genau diese Abbildung zu verwenden?

Und die Umkehrabbildung müsste ja sein, richtig?
Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Und zusätzlich Frage ich mich, wie ich Stetigkeit zeigen soll. Wie es allgemein geht, ist mir klar. Aber mit der Norm weiß ich nicht so genau. Gibt es da irgendwelche Regeln?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pinahoo2006
Und die Umkehrabbildung müsste ja sein, richtig?

Das glaube ich nicht.

Zitat:
Original von Pinahoo2006
Wie komme ich denn eigentlich darauf genau diese Abbildung zu verwenden?

Gesucht ist eine Abbildung, die Vektoren geeignet herunterskaliert. Man kann sich das auch allgemeiner für Kugeln mit beliebigem Durchmesser überlegen.

Zitat:
Original von Pinahoo2006
Und zusätzlich Frage ich mich, wie ich Stetigkeit zeigen soll.

Eine Möglichkeit wäre zu argumentieren, dass die Abbildungen aus stetigen Abbildungen (Norm, Summe, Quotient...) "zusammengesetzt" ist, sofern das Kriterium bekannt ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Pinahoo2006
Und die Umkehrabbildung müsste ja sein, richtig?

Das glaube ich nicht.


Du mußt



nach auflösen. Wenn man den Trick kennt, ist es nicht schwer: Man geht in der Gleichung zur Norm über. Da der Skalar vor positiv ist, kann man ihn nach den Regeln für eine Norm vor die Norm ziehen:



Dies zeigt unter anderem, daß ist. In der letzten Gleichung liegt eine Gleichung zwischen reellen Zahlen vor. Löse sie nach auf, setze das ganz am Anfang ein und löse nach auf.
Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
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