Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion

04.05.2019, 13:47

AP0

Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion

Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe überhaupt nicht voran:

Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^{2}\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\begin{cases}0\,\,\,\,\,\,\,\,,(x,y)=(0,0),\\\frac{| x |y }{| x |+y^{2} }, (x,y)\neq (0,0), \end{cases} \end{eqnarray*}$
im Nullpunkt stetig und in jede Richtung differenzierbar ist aber nicht (total) differenzierbar ist.

Ich habe überhaupt keine Ideen für Ansätze; es hapert schon daran dass ich nicht weiß wann genau eine Funktion "in jede Richtung differenzierbar" ist.
Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt smile

05.05.2019, 08:57

Huggy

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funtkion

Zitat:

Original von AP0
Ich habe überhaupt keine Ideen für Ansätze; es hapert schon daran dass ich nicht weiß wann genau eine Funktion "in jede Richtung differenzierbar" ist.

Ihr habt doch sicher in der Vorlesung eine Definition der Richtungsableitung gehabt. Die solltest du anwenden. Eine übliche Definition findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzi...htungsableitung

Setzt man bei dieser Definition

$\begin{eqnarray*} g(h)=f(a+hv) \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} D_v f(a)=g'(0) \end{eqnarray*}$

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist es oft zweckmäßig, mit Polarkoordinaten zu arbeiten. Dann hat man für den Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=(\cos \varphi, \sin \varphi) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ übernimmt die Rolle von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ . Die gegebene Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann in jede Richtung differenzierbar, wenn obige Richtungsableitung für jeden Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ existiert, also in Polarkoordinaten für jeden Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ existiert.

05.05.2019, 21:59

AP0

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funtkion
Vielen Dank, das hat mir schonmal sehr geholfen!
Aber ich komme immer noch nicht drauf, wie ich die Stetigkeit der Funktion im Nullpunkt zeigen soll unglücklich

06.05.2019, 08:36

Huggy

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RE: Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funtkion
Mit der Definition der Stetigkeit!
Auch hier sind Polarkoordinaten hilfreich. Die Radialko0rdinate $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist ja identisch mit dem Abstand des Punktes $\begin{eqnarray*} (x,y \end{eqnarray*}$ ) von dem Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , an dem die Stetigkeit gezeigt werden soll. Wenn man die Funktion in Polarkoordinaten hinschreibt, ist also zu zeigen

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} f(r, \varphi) = 0 \end{eqnarray*}$

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