Kurvenschar

04.05.2019, 14:11

Black Kong

Kurvenschar

Meine Frage:
Hallo Leute,
hab folgende Aufgaben zur Kurvenschar.
1) Mithilfe der pq-Formel die Nullstellen der Parabelschar in Abhängigkeit vom Scharparameter A bestimmen.
2) Scharparameter A bestimmen wenn Nullstellen bei 1,3 liegen.
3)Scharparameter A bestimmen wenn Scheitelpunkt bei (2/6) liegt.

Parabelschar fa(x)= Ax^2-4Ax+12 mit Scharparameter A ungleich 0.

Meine Ideen:
Für Aufgabe 2/3 habe ich die Sachen in die Parabelschar eingesetzt und bekomme für 2) A=4 und 3) A=1,5 raus.
Leider komme ich bei Aufgabe 1 nicht weiter. Wenn ich die Parabelschar in die pq-Formel einsetzten möchte muss ich ja durch A teilen.
Ergibt dann ja fa(x)= x^2-4x+12/A setze ich dann für A-Werte ein die Ungleich 0 sind ?

04.05.2019, 16:20

klauss

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RE: Kurvenschare

Zitat:

Wenn ich die Parabelschar in die pq-Formel einsetzten möchte muss ich ja durch A teilen.

Warum der Einwand? A=0 ist ja von vornherein ausgeschlossen, also gibts insofern keinen Ärger.

Du mußt nun die Diskriminante betrachten und die Fallunterscheidung D=0, D>0, D<0 durchführen, danach eine Aussage machen, wieviele und welche Nullstellen für welche Werte von A existieren.

04.05.2019, 16:39

Black Kong

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Hab es mal mithilfe meines Taschenrechners Grafisch dargestellt.
Leider ist die Datei zu groß zum Hochladen.
Und zwar habe ich für a [-4,4] eingesetzt und nun bekomme ich für a<0 zwei Nullstellen und a>0 erst ab 3 eine Nullstelle ist dies so richtig ?

04.05.2019, 17:21

klauss

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Stimmt so nicht.
Außerdem gibt es da nichts in den Taschenrechner einzusetzen, sondern man muß streng genommen Ungleichungen schriftlich lösen. Schließlich ist zu bedenken, dass der Lehrer/Korrektor den Lösungsweg nachvollziehen können muß.

Die Diskriminante ist $\begin{eqnarray*} D=4-\frac{12}{A} \end{eqnarray*}$
Für D=0 gibt es 1 doppelte Nullstelle, das ist bei A=3 der Fall.
Für D>0 gibt es 2 verschiedene Nullstellen.
Also ist die Lösungsmenge der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 4-\frac{12}{A}>0 \end{eqnarray*}$
zu bestimmen. Dabei ist beim Umformen aufzupassen, dass A>0 sein kann oder A<0.
Es entsteht damit eine weitere Fallunterscheidung für A innerhalb der Fallunterscheidung für D.
Für D<0 gibt es keine Nullstellen.
Da ist die Lösungsmenge der Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 4-\frac{12}{A}<0 \end{eqnarray*}$
zu bestimmen. Ebenfalls wieder mit Fallunterscheidung für A.
Leider wird das akkurate Vorgehen in der Schule meist nicht so ordentlich durchgenommen. Kannst Du den Zweig D>0 sauber untersuchen oder muß ich hier eine Musterrechnung einstellen?

04.05.2019, 18:03

Black Kong

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Danke für die Ausführliche Antwort !
Werde es erstmal selber versuchen & mich dann zurück melden.
Btw wenn sich ja A ändert sich auch automatisch die Nullstelle oder nicht ?
Da mein Lehrer meinte es gibt eine ganzzahlige Lösung für das Problem somit gibts doch nicht die Eine Richtige Nullstelle wenn ich es richtig verstehe

04.05.2019, 18:27

klauss

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Was der Lehrer gemeint haben mag, will ich nicht spekulieren.
Jedenfalls gibt es für den Fall D=0 / A=3 eine Nullstelle
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=2\pm \sqrt{4-\frac{12}{3} } \end{eqnarray*}$
und die ist zwangsläufig ganzzahlig.
Im Fall D>0 variieren die 2 verschiedenen Nullstellen in Abhängigkeit von A, können nur als
$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=2\pm \sqrt{4-\frac{12}{A} } \end{eqnarray*}$
angegeben werden und sind i. d. R. nicht ganzzahlig.
Aber rechne erstmal selbst.

04.05.2019, 19:52

Black Kong

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Hallo,
melde mich wieder hab es mal versucht denke bin aber kläglich Gesteigert.
Wäre es evtl richtig wenn ich schreiben würde. A=R\{0,1,2} ergeben Nullstellen ?

04.05.2019, 20:35

klauss

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Ne, das paßt gar nicht. Also einmal den Fall D>0 vorgeführt:
$\begin{eqnarray*} 4-\frac{12}{A}>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4> \frac{12}{A} \end{eqnarray*}$
Um das A aus dem Nenner wegzukriegen, müssen wir mit A durchmultiplizieren.
Aber A kann größer oder kleiner als 0 sein und wir wissen, dass wir bei Ungleichungen das Ungleichheitszeichen umdrehen müssen, wenn wir mit was Negativem multiplizieren. Daher folgende Fallunterscheidung:
1) A>0 (Grundmenge für den 1. Zweig)
$\begin{eqnarray*} 4> \frac{12}{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A> \frac{12}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A>3 \end{eqnarray*}$
2) A<0 (Grundmenge für den 2. Zweig)
$\begin{eqnarray*} 4> \frac{12}{A} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A< \frac{12}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A<3 \end{eqnarray*}$

Aus Zweig 1 folgt:
$\begin{eqnarray*} A>0\wedge A>3\Rightarrow A>3 \end{eqnarray*}$
Aus Zweig 2 folgt:
$\begin{eqnarray*} A<0\wedge A<3\Rightarrow A<0 \end{eqnarray*}$

Also gilt D>0 für $\begin{eqnarray*} A>3 \vee A<0 \end{eqnarray*}$
anders ausgedrückt:
Für $\begin{eqnarray*} A\in ]-\infty ;0[\cup ]3;\infty [ \end{eqnarray*}$ hat die Kurvenschar 2 einfache Nullstellen.
Das müßtest Du jetzt durchdenken und auf den Fall D<0 anwenden.

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