Minimaler Wertebereich und Verteilung

04.05.2019, 16:39

Katarina15

Minimaler Wertebereich und Verteilung

Guten Abend, leider kann ich diese Aufgabe nicht in Latex Abbilden, deswegen hoffe ich, dass ein Bild ok ist.

Edit (mY+): Bild ist OK, nur bitte keine Links zu externen Uploadseiten, sondern die Grafik statt dessen an deinen Beitrag anhängen!

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l}{\text { Sei } \Omega=\{1,2,3\}^{2} \text { mit den Einzelwahrscheinlichkeinlichkeiten } \mathbb{P}(\{\omega\}) \text { fir } \omega=\left(\omega_{1}, \omega_{2}\right) \in \Omega \text { gegeben }} \\ {\text { durch }}\end{array} \end{eqnarray*}$

[attach]49207[/attach]

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l}{\text { Geben Sie nun den minimalen Wertebereich } X(\Omega) \text { und die Verteilungen } p_{X} \text { für die folgenden }} \\ {\text { Zufallsvariablen an: }}\end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ (a)}X(\omega)=\omega_{1}, \quad \text { (b) } X(\omega) :=\max \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}-\min \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage:
Ich sehe solch eine Tabelle zum ersten Mal und kann gerade garnichts damit anfangen, deshalb erhoffe ich mir, dass mir Jemand erklären kann was ich hier genau tun soll und wie es geht.

05.05.2019, 13:13

Katarina15

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung
@ mYthos danke das du es editiert hast, leider wusste ich nicht wie ich das Bild anhängen soll smile

Ich hoffe mir kann hier Jemand helfen, wenn ich die a) verstanden habe, sollte der Rest auch alleine gehen. Ich verstehe nur die Tabelle nicht so richtig und weiß nicht wie ich damit umgehen soll.

05.05.2019, 16:49

Huggy

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung

Zitat:

Original von Katarina15
Ich sehe solch eine Tabelle zum ersten Mal und kann gerade garnichts damit anfangen

Na , die Tabelle enthält offensichtlich die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} \omega =(\omega_1,\omega_2) \end{eqnarray*}$ , wie es oberhalb der Tabelle steht. Der Eintrag in der Tabelle rechts oben bedeutet z. B.

$\begin{eqnarray*} P((1,3))=P((\omega_1=1, \omega_2=3))=0.2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

deshalb erhoffe ich mir, dass mir Jemand erklären kann was ich hier genau tun soll und wie es geht.

Du sollst die Wertebereiche und Verteilungen für die angegebenen Funktionen $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ angeben. Bei a) ist der Wertebereich offensichtlich $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ . Weshalb nach einem minimalen Wertebereich gefragt ist, ist mir nicht klar. Bei b) ist der Wertebereich ein wenig anders, aber auch leicht zu ermitteln. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann aus der Tabelle. Man addiert alle Tabelleneinträge, bei denen $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ den gleichen Wert hat.

05.05.2019, 17:28

Katarina15

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung
Hallo, danke für die Antwort.

Das mit dem minimalen Wertebereich verstehe ich auch nicht so ganz.
Allerdings verstehe ich auch nicht wie ich für a) die Verteilung bestimmen sollte.

Ich muss gestehen, dass ich es nicht verstehe. Wie soll man denn $\begin{eqnarray*} X(\omega) :=\max \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}-\min \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ berechnen

max wäre dann (1,2),(1,3),(2,1) ? und min (1,1),(2,2) ?

Das heißt, man addiert die Wahrscheinlichkeiten von max (1,2),(1,3),(2,1) und die von min (1,1),(2,2) und subtrahiert die Ergebnisse?

05.05.2019, 19:20

Huggy

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung

Zitat:

Original von Katarina15
Allerdings verstehe ich auch nicht wie ich für a) die Verteilung bestimmen sollte.

Das ist doch ganz einfach. Angenommen, man sucht $\begin{eqnarray*} P(X=1)=P(X(\omega)=1) \end{eqnarray*}$ , dann muss bei a) $\begin{eqnarray*} \omega_1=1 \end{eqnarray*}$ sein. Der Wert von $\begin{eqnarray*} \omega_2 \end{eqnarray*}$ spielt keine Rolle. Das ist in der obersten Zeile der Tabelle der Fall. Man hat also bei a):

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=0.05+0.2+0.2==.45 \end{eqnarray*}$

Analog gehst du für $\begin{eqnarray*} X=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=3 \end{eqnarray*}$ vor.

Zitat:

Ich muss gestehen, dass ich es nicht verstehe. Wie soll man denn $\begin{eqnarray*} X(\omega) :=\max \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}-\min \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ berechnen

max wäre dann (1,2),(1,3),(2,1) ? und min (1,1),(2,2) ?

Das heißt, man addiert die Wahrscheinlichkeiten von max (1,2),(1,3),(2,1) und die von min (1,1),(2,2) und subtrahiert die Ergebnisse?

Nein, nein, nein! Zunächst ermittelst du wieder den Wertebereich von $\begin{eqnarray*} X(\Omega) \end{eqnarray*}$ . Angenommen, man hat $\begin{eqnarray*} (\omega_1, \omega_2)=(2,3) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} max (\omega_1, \omega_2)=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} min (\omega_1, \omega_2)=2 \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=3-2=1 \end{eqnarray*}$

Bist du jetzt in der Lage, bei b) den Wertebereich zu bestimmen?

Der Eintrag in Zeile 2, Spalte 3 trägt also bei b) zu $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ bei. Es gibt aber noch weitere Kombinatationen, die $\begin{eqnarray*} X=1 \end{eqnarray*}$ ergeben. Deren Wahrscheinlichkeiten musst du alle addieren. Analog für die anderen möglichen Werte der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

05.05.2019, 19:55

Katarina15

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung
OK, der Wertebereich Wäre dann \Omega=\{1,2,3\}^{2} oder (1,1),(1,2),(1,3) usw.
Aber ist denn das sinnvoll, dann gibt es ja 9 Kombinationen?
Ich glaube hier wäre es dann wichtig, zu wissen, was der minimalen Wertebereich ist oder ?

Ich danke dir jedenfalls für die Erläuterung,

06.05.2019, 08:26

Huggy

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung

Zitat:

Original von Katarina15
OK, der Wertebereich Wäre dann \Omega=\{1,2,3\}^{2} oder (1,1),(1,2),(1,3) usw.

Nochmal nein. Das ist der Ergebnisraum, die Menge aller möglichen Ergebnisse oder wie auch immer ihr das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ genannt habt.

Über eine Funktion $\begin{eqnarray*} X(\Omega) \end{eqnarray*}$ wird nun $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in die reellen Zahlen abgebildet. Diese Funktion repräsentiert die betrachte Zufallsgröße. Diejenigen reellen Zahlen, die als Bilder auftreten, sind der Wertebereich der Funktion. Der Wertebereich ist also eine Menge reeller Zahlen. Bei a) waren das die Zahlen $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ .

Bei b) sind es die Zahlen $\begin{eqnarray*} \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ . mach dir das anhand meiner Erläuterung in meiner vorigen Antwort noch mal klar.

Ich vermute im Moment, dass nach dem minimalen Wertebereich gefragt wird, weil man prinzipiell noch weitere Zahlen in den Wertebereich aufnehmen könnte, die als Bild gar nicht auftreten. Denen würde man dann einfach die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ zuordnen.

06.05.2019, 12:58

Katarina15

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung
Also für
$\begin{eqnarray*} X(\omega) :=\max \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\}-\min \left\{\omega_{1}, \omega_{2}\right\} $ 1: X(\omega) :=\max \left\{1, 1\right\}-\min \left\{1, 1\right\} = 1-1 = 0 2: X(\omega) :=\max \left\{1, 2\right\}-\min \left\{1, 2\right\} = 2-1 = 1 3: X(\omega) :=\max \left\{1, 3\right\}-\min \left\{1, 3\right\} = 3-1 = 2 4: X(\omega) :=\max \left\{2, 1\right\}-\min \left\{2, 1\right\} = 2-1 = 1 5: X(\omega) :=\max \left\{2, 2\right\}-\min \left\{2, 2\right\} = 2-2 = 0 6: X(\omega) :=\max \left\{2, 3\right\}-\min \left\{2, 3\right\} = 3-1 = 2 7: X(\omega) :=\max \left\{3, 1\right\}-\min \left\{3, 1\right\} = 3-1 = 2 8: X(\omega) :=\max \left\{3, 2\right\}-\min \left\{3, 2\right\} = 3-2 = 1 9: X(\omega) :=\max \left\{3, 3\right\}-\min \left\{3, 3\right\} = 3-3 = 0 \end{eqnarray*}$

Und damit folgt {0,1,2}?

Und nun soll ich noch die Verteilung angeben. Muss ich dann jetzt noch für alle 9 Kombinationen die Wahrscheinlichkeiten berechnen?

06.05.2019, 13:23

Huggy

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung

Zitat:

Original von Katarina15
Und damit folgt {0,1,2}?

Ja.

Zitat:

Und nun soll ich noch die Verteilung angeben. Muss ich dann jetzt noch für alle 9 Kombinationen die Wahrscheinlichkeiten berechnen?

Nein. Die sind ja in der Tabelle schon gegeben. Es sei denn, du bezeichnest ein ablesen aus der Tabelle als berechnen.
Was du machen musst, ist diese gegebenen Wahrscheinlichkeiten für alle Kombinationen zu addieren, bei denen $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ den gleichen Wert hat. So gilt z. B.

$\begin{eqnarray*} X((1,1))=0\quad X((2,2)=0 \quad X((3,3)=0 \end{eqnarray*}$

Also gilt

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=P((1,1))+P((2,2))+P((3,3))=0.05+0.05+0.05=0.15 \end{eqnarray*}$

06.05.2019, 13:45

Katarina15

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RE: Minimaler Wertebereich und Verteilung
Achso, na dass macht nun Sinn

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