Rotationskörpervolumen um y-Achse

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Prüfungsdenker Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationskörpervolumen um y-Achse
Meine Frage:
Hi! Ich habe gestern eine Prüfung geschrieben, aber die eine Aufgabe geht mir einfach nicht aus dem Kopf. Einerseits weil ich der Meinung bin, dass man auf verschiedene Weise argumentieren kann, die mir beide richtig erscheinen, allerdings zu verschiedenen Ergebnissen führen, andererseits finde ich die Aufgabe an sich aber auch spannend.

Es geht um die Funktionenschar f(x)=8k(k²x²-1)² mit k>0. Die Fläche zwischen der y-Achse und der Nullstelle 1/k rotiere um die y-Achse für wachsende k. Man soll begründen, warum das Rotationskörpervolumen für große k beliebig klein wird.(Schnittpunkt mit der y-Achse ist S(0|8k)

Meine Ideen:
Mein erster Ansatz war folgender: für große k geht die Nullstelle gegen 0, weil k=>0, also 1/k gegen 0. Gleichzeitig geht das 8k des Schnittpunkts mit der y-Achse gegen unendlich. Da sich dann aber anschaulich sozusagen ein Strich für sehr große k ergibt, wird das Rotationskörpervolumen für sehr große k 0.

Mein zweiter Ansatz war über die Umkehrfunktion von f(x). Die dann in die Formel für Rotationskörpervolumen um die y-Achse einsetzen, das kam mir alles irgendwann aber zu kompliziert für eine Prüfung vor.

Ich nehme jetzt einfach mal an, der erste Ansatz sei richtig. Damit wäre die These, die bewiesen werden solle, ja quasi "belegt", auch wenn nicht mit schönster mathematischer Formelschreibweise.

Heute habe ich über die Aufgabe aber noch mal etwas nachgedacht und bin ins Grübeln gekommen. Und zwar habe ich an ein Ergebnis aus einer anderen Teilaufgabe gedacht: Man sollte den Flächeninhalt dieses betrachteten, rotierenden Stücks bereits zuvor berechnen. Dies habe ich auch getan und es kam 64/15 raus, also eine von k unabhängige Größe. Das heißt, auch wenn k gegen unendlich geht, ist der Flächeninhalt der rotierende Fläche immer noch nicht 0, sondern 64/15. Dementsprechend entsteht also nicht der o.g. "Strich", sondern quasi ein einem Zylinder sehr ähnliches Objekt mit einem sehr, sehr kleinen Radius für sehr große k. Da die Fläche aber ja immer noch vorhanden ist, ist das Volumen dieses Körpers ja aber nicht beliebig klein, sondern immer noch so groß wie für "normale" k wie 1 oder 2, nur das jetzt halt ein Körper entsteht, der sehr hoch und schmal ist.

Was sagt ihr zu meinen Überlegungen? smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationskörpervolumen um y-Achse
Wenn man sonst nichts gegeben hätte außer der Funktionsvorschrift und den Integrationsgrenzen, bliebe kaum was anderes übrig, als mit Deinem 2. Ansatz nachzurechnen. Ich hab das grad mal gemacht und (in der Hoffnung, mich nicht irgendwo vertan zu haben) rausgekriegt, dass das Rotationsvolumen proportional zu 1/k ist.

Dein 1. Ansatz wird als Argumentation nicht standhalten, da die eingeschlossene Fläche sich gleichzeitig in der Breite der 0 nähert und in der Höhe nach Unendlich strebt, also 2 konkurrierende Vorgänge, über deren Bilanz man ohne weiteres keine seriöse Aussage treffen kann.

Dennoch nehme ich nicht an, dass erwartet wurde, die - sichere - Methode 2 in der Prüfung durchzuziehen, sondern dass man anhand eines Zwischenergebnisses einer vorherigen Teilaufgabe begründen sollte. Daher wäre es gut, die genaue komplette Aufgabenstellung zu erhalten, insbesondere der Teilaufgabe, bei der - angeblich - 64/15 rauskommt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein Irrtum zu glauben, dass das Verhalten der Rotationsfläche sich im gleichen Maße auch auf das Rotationsvolumen auswirkt.
Die Fläche kann also ohne weiteres gegen Null gehen oder konstant bleiben, was aber auf das zugehörige Rotationsvolumen durchaus nicht zutreffen muss!

Man muss also das Volumen zuerst allgemein berechnen und von diesem dann den Grenzwert bestimmen.

Um die Umkehrfunktion (von dieser wird ohnehin nur deren Quadrat benötigt) wirst du nicht herumkommen. Du kannst natürlich den Schwerpunkt der Fläche bestimmen und dann das Volumen als das Produkt der Fläche mit dem Weg des Schwerpunktes bei der Rotation (Guldinische Regel).
(Beim Schwerpunkt wird allerdings wieder die Umkehrfunktion das Thema sein)

Es stimmt, dass die Fläche hier von k unabhängig ist, es kann aber beim Volumen völlig anders sein.

mY+
Prüfungsdenker Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ok. Gut, macht schon Sinn, hätte bloß nicht gedacht, dass sie sowas im Abitur erwarten. unglücklich

habe es noch mal schnell gerechnet, kommt für V= 40/3k raus ... wenn k also gegen unendlich geht, geht V gegen 0.

Trotzdem danke für deine Hilfe! smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Resultat, allerdings so: , habe ich - noch abgesehen von dem bei dir fehlenden Faktor - auch. smile

mY+
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