C[a,b], ll?ll (unendlich Norm) Banach-Raum

04.05.2019, 18:48	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
C[a,b], ll?ll (unendlich Norm) Banach-Raum Meine Frage: Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} (C[a,b], \|\|\cdot \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ ein Banach-Raum ist. Dabei bezeichne C[a,b] den Raum der beschränkten stetigen Funktionen gemäß C[a,b]:={f:[a,b]—>f stetig} mit $\begin{eqnarray} \|\|f\|\|_{\infty }:=(\int_{a}^{b} \! \|f(x)\|^{p} \, dx)^{\frac{1}{p} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß, dass ein Banach Raum ein vollständig normierter Vektorraum ist. D.h. ich muss folgendes zeigen: i) $\begin{eqnarray} (C[a,b], \|\|\cdot \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraum ii) $\begin{eqnarray} (C[a,b], \|\|\cdot \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ ist normiert iii) $\begin{eqnarray} (C[a,b], \|\|\cdot \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ ist vollständig (hier kann ich ausnutzen, dass ein Raum vollständig ist, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert). Allerdings wäre ich über Tipps sehr dankbar, wie ich i), ii) und iii) zeigen kann.

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