Taylorreihe - Fehlerabschätzung |
04.05.2019, 21:32 | SM!LE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Taylorreihe - Fehlerabschätzung ich habe bei einer praktischen Anwendung des Taylorpolynoms ein wenig Schwierigkeiten und würde mich sehr über hilfreiche Tipps freuen. Ich denke, dass ich Teilaufgabe 1 richtig gelöst haben müsste allerdings bin ich bei Teilaufgabe 2 dezent ratlos. Aufgabe: Nach Albert Einstein ist die Gesamtenergie eines Teilchens der Ruhemasse , das sich mit der Geschwindigkeit bewegt. Hierbei wird die Lichtgeschwindigkeit und die Ruhemasse des Teilchens als gegebene Konstanten angenommen. Mit der Ruheenergie des Teilchens berechnet sich seine kinetische Energie nach der Formel . a) Man bestimme zu im Entwicklungspunkt das Taylorpolynom 4. Ordnung und vergleiche dieses mit dem klassischen Asudruck für die kinetische Energie. b) Man bestimme einen Geschwindigkeitsbereich , gemessen in , für den relativen Fehler zwischen relativistischer und klassischer kinetischer Energie maximal 1% beträgt. Meine Lösung zu a): 1) 4 mal abgeleitet und für , eingesetzt: 2) Taylorpolynom 4. Ordnung aufgestellt: Somit würden sich das Taylorpolynom nur um unterscheiden oder? Für Aufgabenteil b) habe ich leider noch keinen Ansatz und wäre für jeden Tipp dankebar. Mit freundlichen Grüßen SM!LE |
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05.05.2019, 02:03 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sehr saubere Darstellung! Ich würde es etwas simpler angehen: sei und damit ist Zum Glück gibt es die Binomialreihe und das Einsetzen von x ergibt sich das Gewünschte. a.) Es genügt hier bis zum Glied in zu gehen. Die Differenz ist bei mir Deine "Energiedifferenz" hat aber die Dimension einer Masse Vorschlag: in der SRT normiert man c=1 und v ist dann < 1. Für b.) könnte man auch die Ruhemasse auf 1 normieren. Auch ist Usus. Nicht nur die Mathematiker sind schreibfaul ----------------------------------------- Massenzunahme gefällt mir nicht besonders auch wenn es populär ist. So kann ein relativistisch schneller Körper nicht deshalb zum schwarzen Loch werden wenn. genauer ist die Formel |
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05.05.2019, 13:02 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teil2 damit ist (*) Werte die Taylor enthalten |
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05.05.2019, 14:19 | SM!LE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für die Antwort. Der Lösungsansatz zu a) mit der Binomialreihe ist erstaunlich. Ich hab bemerkt, dass mir ein Rechenfehler bei unterlaufen ist. Richtig ist natürlich: Und somit ist der Unterschied zwischen dem klassischen Ausdruck und dem Taylorpolynom 4. Ordnung natürlich . Danke für die Hilfe bei b). Wenn ich richtig sehe, wurde dort gesetzt? Ps: Noch eine Frage zu Aufgabe a) Gibt es eine Möglichkeit, dass man das "mathematische Auge" trainiert, damit ich zukünftig solche Sachen sehe. Weil das ist ja wesentlich einfach und eleganter gelöst mit der Binomialreihe. |
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05.05.2019, 17:44 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist sehr praktisch und verringert die Schreibfehlerquellen. Insgesamt ein physikalischer Ansatz für ein physikalisches Problem. Ohne Taschenrechner Rechenarbeit einzusparen war früher erste Pflicht und Taylor oder Mc. Laurin ----> Binomialreihe "tägliches Brot" ebenso wie eine allgegenwärtige Fehlerbetrachtung. Wenn du z.B. die "Massenzunahme" bei einem Güterzugvon 1000t bei 100 km/h rehnen oder abschätzen willst, kommst du um die BinomReihe gar nicht herum, da der TR mit der genauen Formel versagt, sprich bleibt 1.000 000 00 Und das war er schon, mein Blicktrainingstip |
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05.05.2019, 18:03 | SM!LE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Also wenn wie in dieser Aufgabe und als Konstanten vorgegeben sind, kann man es sich einfach machen und und setzten und somit das ganze vereinfachen? In Aufgabe b) war ja nach einem Geschwindigkeitsbereich gefragt. Wäre das dann einfach ? Und wenn ich das auf die Lichtgeschwindigkeit beziehen will müsste ich einfach rechnen? |
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05.05.2019, 18:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau so wird es gemacht ! Und c=299792458 m/s |
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05.05.2019, 18:19 | SM!LE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Ein riesen Dankeschön das hat bei mir einige Knoten im Kopf gelöst. |
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