Epsilon-Delta-Definition

04.05.2019, 21:34

nluap

Epsilon-Delta-Definition

Hallo,

Meine Frage bezieht sich auf die Epsilon-Delta-Definition, mit der man die Stetigkeit einer Funktion beweisen kann. Das Prinzip hinter dem Beweis hab ich verstanden, aber leider gibt es viele Aufgaben zu dem Thema bei denen ich keinerlei Idee hab wie ich jetzt konkret vorgehen muss.

Gegeben ist die Funktion:
f(x) = ((sin(1/x)^2) für x < 0
x^2+2x +1 für x >= 0

a) man soll mittels der epsilon-delta definition zeigen, dass die Funktion im Punkt 2 stetig ist.

Bei den Beispielaufgaben, die ich im Internet zur epsilon-delta-definition gefunden hab, musste man immer zeigen, dass eine Funktion in einem bestimmten Wertebereich stetig ist. Wie kann ich jetzt zeigen, dass sie an diesem bestimmten Punkt stetig ist ? Die Lösung wird doch wohl kaum sein, einfach für x = 2 einzusetzen ?

b) Ist die Funktion stetig im Punkt 0 ?

Würde mich sehr über Hilfe freuen !

Viele Grüße

05.05.2019, 09:37

Huggy

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RE: Epsilon-Delta-Definition

Zitat:

Original von nluap
Wie kann ich jetzt zeigen, dass sie an diesem bestimmten Punkt stetig ist ? Die Lösung wird doch wohl kaum sein, einfach für x = 2 einzusetzen ?

Wende die Definition der Stetigkeit für diesen Punkt an. Da $\begin{eqnarray*} 2 > 0 \end{eqnarray*}$ , musst du zeigen dass $\begin{eqnarray*} x^2+2x+1 \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ stetig ist. Nur den Wert 2 einzusetzen genügt natürlich nicht.

Zitat:

b) Ist die Funktion stetig im Punkt 0 ?

Schau dir mal an, wie sich $\begin{eqnarray*} \sin (\frac 1 x)^2 \end{eqnarray*}$ in der Umgebung von Null verhält. Dann solltest du leicht zeigen können, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist.

05.05.2019, 19:10

nluap

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RE: Epsilon-Delta-Definition
Vielen Dank für deine Antwort !
Ich hab aber noch eine Frage zum Aufgabenteil b) . Die Stelle x = 0 ist ja nicht mehr im Definitionsbereich von (sin(1/x))^2 (der gilt ja nur für x < 0) sondern schon bei x^2 + 2x + 1 ( der gilt für x>= 0) Wieso ist die Funktion dann trotzdem nicht stetig ?

05.05.2019, 19:28

Huggy

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RE: Epsilon-Delta-Definition
Um die Stetigkeit oder Nichtstetigkeit bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, musst du doch Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ betrachten. Diese Umgebungen enthalten immer auch einen Bereich mit $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

06.05.2019, 21:49

nluap

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RE: Epsilon-Delta-Definition
Also muss ich dann lim x--> 0- (sin(1/x))^2 nehmen ?
Was würde denn dabei rauskommen ?
Bei Wolfram Alpha steht nur, dass die Funktion dort nicht definiert ist ?

07.05.2019, 07:51

Huggy

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RE: Epsilon-Delta-Definition
Richtig. Der Grenzwert existiert nicht.
Man kann leicht eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n=0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} |\sin (\frac 1 x)^2|=1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angeben. Dann kann aber $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nach dem $\begin{eqnarray*} \epsilon-\delta \end{eqnarray*}$ -Kriterium nicht stetig sein, weil ja $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Gib obige Folge mal konkret an und gib mal konkret ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ an, für das man kein passendes $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden kann.

12.05.2019, 18:12

nluap

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Danke für deine Hilfe, hab die Aufgabe hinbekommen

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