Epsilon-Delta-Definition

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nluap Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Delta-Definition
Hallo,

Meine Frage bezieht sich auf die Epsilon-Delta-Definition, mit der man die Stetigkeit einer Funktion beweisen kann. Das Prinzip hinter dem Beweis hab ich verstanden, aber leider gibt es viele Aufgaben zu dem Thema bei denen ich keinerlei Idee hab wie ich jetzt konkret vorgehen muss.

Gegeben ist die Funktion:
f(x) = ((sin(1/x)^2) für x < 0
x^2+2x +1 für x >= 0

a) man soll mittels der epsilon-delta definition zeigen, dass die Funktion im Punkt 2 stetig ist.

Bei den Beispielaufgaben, die ich im Internet zur epsilon-delta-definition gefunden hab, musste man immer zeigen, dass eine Funktion in einem bestimmten Wertebereich stetig ist. Wie kann ich jetzt zeigen, dass sie an diesem bestimmten Punkt stetig ist ? Die Lösung wird doch wohl kaum sein, einfach für x = 2 einzusetzen ?

b) Ist die Funktion stetig im Punkt 0 ?

Würde mich sehr über Hilfe freuen !

Viele Grüße
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Definition
Zitat:
Original von nluap
Wie kann ich jetzt zeigen, dass sie an diesem bestimmten Punkt stetig ist ? Die Lösung wird doch wohl kaum sein, einfach für x = 2 einzusetzen ?

Wende die Definition der Stetigkeit für diesen Punkt an. Da , musst du zeigen dass im Punkt stetig ist. Nur den Wert 2 einzusetzen genügt natürlich nicht.

Zitat:
b) Ist die Funktion stetig im Punkt 0 ?

Schau dir mal an, wie sich in der Umgebung von Null verhält. Dann solltest du leicht zeigen können, dass bei nicht stetig ist.
 
 
nluap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Definition
Vielen Dank für deine Antwort !
Ich hab aber noch eine Frage zum Aufgabenteil b) . Die Stelle x = 0 ist ja nicht mehr im Definitionsbereich von (sin(1/x))^2 (der gilt ja nur für x < 0) sondern schon bei x^2 + 2x + 1 ( der gilt für x>= 0) Wieso ist die Funktion dann trotzdem nicht stetig ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Definition
Um die Stetigkeit oder Nichtstetigkeit bei zu zeigen, musst du doch Umgebungen von betrachten. Diese Umgebungen enthalten immer auch einen Bereich mit .
nluap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Definition
Also muss ich dann lim x--> 0- (sin(1/x))^2 nehmen ?
Was würde denn dabei rauskommen ?
Bei Wolfram Alpha steht nur, dass die Funktion dort nicht definiert ist ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Epsilon-Delta-Definition
Richtig. Der Grenzwert existiert nicht.
Man kann leicht eine Folge mit und und



für alle angeben. Dann kann aber in nach dem -Kriterium nicht stetig sein, weil ja ist.

Gib obige Folge mal konkret an und gib mal konkret ein an, für das man kein passendes finden kann.
nluap Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe, hab die Aufgabe hinbekommen
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